교류에서 수동소자(RLC) 직렬 회로

1. RL 직렬회로(유도성 회로)

• 전류($I$)의 위상이 전압($V$)의 위상보다 $\theta$ 뒤진다.(지상회로)
  
  $\displaystyle \theta=\tan^{\small{-1}}\!{\frac{X_{\tiny{L}}}{R}} =\tan^{\small{-1}}\!{\frac{\omega L}{R}} =\tan^{\small{-1}}\!{\frac{V_{\small{L}}}{V_{\small{R}}}}$

• 임피던스 $Z$
  
  $\displaystyle Z=R+jX_{\small{L}}[\Omega]$
  
  $\displaystyle |Z|=\sqrt{R^2+{X_{\tiny{L}}}\!{^{\tiny{2}}}}[\Omega]$

• 전체 전압 $V$
  
  $\displaystyle V=V_R+jV_L=I\cdot R+I\cdot j\omega L=(R+j\omega L)\cdot I[\text{V}]$
  (여기서, $V_R=I\cdot R, V_L=I\cdot X_L$)
  
  $\displaystyle |V|=\sqrt{{V_{\tiny{R}}}^2+{V_{\tiny{L}}}^2}=\sqrt{R^2+{X_{\tiny{L}}}\!{^2}}\cdot I[\text{V}]$

• 전 전류 $I$
  
  $\displaystyle I=\frac{V}{|Z|}=\frac{V}{\sqrt{R^2+{X\!{_{\tiny{L}}}}^2}}$

• 역률 $\cos\!\theta$
  
  $\displaystyle \cos\!\theta=\frac{R}{Z}=\frac{R}{\sqrt{R^2+{X\!{_{\tiny{L}}}}^2}}=\frac{V_{\tiny{R}}}{V}$

2. RC 직렬회로(용량성 회로)

• 전류($I$)의 위상이 전압($V$)의 위상보다 $\theta$ 앞선다.(진상회로)

  ${\displaystyle {\theta=\tan^{\small{-1}}\!{\frac{X_{\tiny{C}}}{R}} =\tan^{\small{-1}}\!{\frac{\frac{1}{\omega C}}{R}} =\tan^{\small{-1}}\!{\frac{1}{\omega CR}} =\tan^{\small{-1}}\!{\frac{V_{\tiny{C}}}{V_{\tiny{R}}}} } }$

• 임피던스 $Z$
  

  $\displaystyle Z=R+\frac{1}{j\omega C}=R-j\frac{1}{\omega C}[\Omega]$
  

  $\displaystyle |Z|=\sqrt{R^2+{X_{\tiny{C}}}^2}=\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\omega C}\right)^2}[\Omega]$

• 전체 전압 $V$

  ${\displaystyle { V=V_{\tiny{R}}+V_{\tiny{C}} =I\cdot R + I\cdot \frac{1}{j\omega C} =\left(R-j\frac{1}{\omega C}\right)\cdot I[\text{V}] } }$
  (여기서, $\displaystyle V_{\tiny{R}}=I\cdot R, V_{\tiny{C}}=I\cdot X_{\tiny{C}})$

  ${\displaystyle { |V|=\sqrt{{V_{\tiny{R}}}^2+{V_{\tiny{C}}}^2} =\sqrt{R^2+{X_{\tiny{C}}}^2}\cdot I[\text{V}] } }$

• 전 전류 $I$

  ${\displaystyle { I=\frac{V}{Z} =\frac{V}{\sqrt{R^2+{X_{\tiny{C}}}^2}} =\frac{V}{\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\omega C}\right)^2}}[\text{A}] } }$

• 역률 $\cos\!\theta$

  ${\displaystyle { \cos\!\theta=\frac{R}{|Z|} =\frac{R}{\sqrt{R^2+{X_{\tiny{C}}}^2}} =\frac{V_{\tiny{R}}}{V} } }$

3. RLC 직렬회로

• 임피던스 $Z$

  ${\displaystyle { Z=R+j(X_{\tiny{L}}-X_{\tiny{C}}) =R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)[\Omega] } }$

  ${\displaystyle { |Z|=\sqrt{R^2+(X_{\tiny{L}}-X_{\tiny{C}})^2} =\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}[\Omega] } }$

• 전체 전압 $V$

  ${\displaystyle { V=V_{\tiny{R}}+V_{\tiny{L}}+V_{\tiny{C}} =I\cdot R+I\cdot jX_{\tiny{L}}+I\cdot(-jX_{\tiny{C}}) =I\cdot\{R+j(X_{\tiny{L}}-X_{\tiny{C}})\}[\text{V}] } }$

  ${\displaystyle { |V|=\sqrt{R^2+(X_{\tiny{L}}-X_{\tiny{C}})^2}\cdot I =\sqrt{R^2+\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}\cdot I[\text{V}] } }$

• 역률 $\cos\!\theta$

  ${\displaystyle { \cos\!\theta=\frac{R}{|Z|} =\frac{R}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}} } }$

• 전압과 전류의 위상차 $\theta$

  • $X_{\tiny{L}}>X_{\tiny{C}}$이면, 유도성 회로

  • $X_{\tiny{C}}>X_{\tiny{L}}$이면, 용량성 회로

  • $X_{\tiny{L}}=X_{\tiny{C}}$이면 공진회로

• 직렬 회로의 공진($X_{\tiny{L}}=X_{\tiny{C}}$) 특성

  • $R+j(X_{\tiny{L}}-X_{\tiny{C}})$에서 $X_{\tiny{L}}-X_{\tiny{C}}=0$인 상태

    $\therefore Z=R$(공진 시는 저항만의 회로)

  • 전압과 전류는 동위상

  • 역률 $\cos\!\theta=1$

• 공진 각속도 $\omega_0$, 공진 주파수 $f_0$

  ${\displaystyle{ X_L-X_C=\omega_0 L-\frac{1}{\omega_0 C}=0 \\ \therefore \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} } }$

  ${\displaystyle{ \omega L-\frac{1}{\omega C}=2\pi f_0L-\frac{1}{2\pi f_0C}=0 \\ \therefore f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}[\text{Hz}] } }$

• 직렬 공진 시 임피던스($Z$)는 최소, 전류($I$)는 최대

• 직렬 공진 시 선택도 $Q$

  ${\displaystyle{ Q=\frac{X_L}{R}=\frac{X_C}{R}=\frac{\omega_0 L}{R}=\frac{1}{\omega_0 CR} \\ Q^2=\frac{\omega_0 L}{R}\times \frac{1}{\omega_0 CR}=\frac{1}{R^2}\cdot\frac{L}{C} \\ \therefore Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} } }$

  선택도 $Q$를 전압확대율 또는 첨예도라고 하는데 저항 $R$값이 작으면 선택도 $Q$가 커지게 되어 공진 곡선이 날카롭게 되고 공진 주파수에 대한 응답이 예민하게 된다.