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2016년 12월 19일 월요일

정현파 교류의 복소수 표현

전압·전류·임피던스 등의 벡터를 복소수 표시하여 대수적인 계산에 의해 회로를 계산하는 방법

1. 복소수(complex number)의 성질


1.1. 실수부와 허수부로 구성된 벡터량

\displaystyle Z = a + jb

1.2. 허수 단위(imaginary unit)

허수 단위는 j 또는 i로 표시한다.

\displaystyle j=\sqrt{-1}, j^2=-1

1.3. 복소수의 크기

Z=\sqrt{a^2+b^2}(여기서, a : 실수부, b : 허수부

1.4. 공액(conjugate) 복소수

크기는 같고 허수부의 부호만 다른 2개의 복소수

\displaystyle Z=a+jb

\displaystyle \dot{Z}=a-jb

1.5. 복소수 연산

  • 곱셈

    {\displaystyle \eqalign{ \left(a+jb\right)\left(c+jd\right) &= ac+jad+jbc+j^2bd \\ &= \left(ac-bd\right)+j\left(ad+bc\right) } }


  • 나눗셈(공액복소수 이용)

    {\displaystyle \frac{a+jb}{c+jd} = \frac{\left(a+jb\right)\left(c-jd\right)}{\left(c+jd\right)\left(c-jd\right)} = \frac{\left(ac+bd\right)+j\left(bc-ad\right)}{c^2+d^2} }


2. 벡터의 복소수 표현


2.1. 직각좌표형

{\displaystyle \eqalign{ \dot{A} &= a{\pm}jb \\ &= \left|A\right|\left(\frac{a}{\left|A\right|}{\pm}j\frac{b}{\left|A\right|}\right) } }

\displaystyle \left|\dot{A}\right|=\sqrt{a^2+b^2}, \theta=\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)

2.2. 극좌표 형식

벡터 \displaystyle \dot{A}=a{\pm}jb에서

\displaystyle \dot{A}=\left|\dot{A}\right|\angle\theta

\displaystyle \left|\dot{A}\right| =\sqrt{a^2+b^2}, \theta =\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)

3.3. 삼각함수 형식

벡터 \displaystyle \dot{A}=a{\pm}jb에서

\dot{A}=\left|\dot{A}\right|\left(\cos\theta{\pm}j\sin\theta\right)

\displaystyle \left|\dot{A}\right| =\sqrt{a^2+b^2}, \theta =\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)

3.4. 지수 함수형

벡터 \displaystyle \dot{A}=a{\pm}jb에서

\dot{A}=\left|\dot{A}\right|e^{{\pm}j\theta}(여기서, e는 자연대수의 밑)

\displaystyle \left|\dot{A}\right| =\sqrt{a^2+b^2}, \theta =\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)

3. 정현파 교류의 복소수 표현

순시 전압 \displaystyle v=V_m\sin\left({\omega}t+\theta\right)[\text{V}]

순시 전류 \displaystyle i=I_m\sin\left({\omega}t-\theta\right)[\text{A}]

3.1. 극좌표 변환

\displaystyle \dot{V}=\left|\dot{V}\right|\angle\theta[\text{V}]

\displaystyle \dot{I}=\left|\dot{I}\right|\angle{-\theta}[\text{A}]

(여기서, \left|\dot{V}\right|, \left|\dot{I}\right|는 실효값)

3.2. 삼각함수형 변환

\displaystyle \dot{V}=\left|\dot{V}\right|\left(\cos\theta+j\sin\theta\right)[\text{V}]

{\displaystyle \eqalign{ \dot{I} &= \left|\dot{I}\right|\left\{\cos{(-\theta)}+j\sin{(-\theta)}\right\} &= \left|\dot{I}\right|\left(\cos{\theta}-\sin\theta\right)[\text{A}] } }

(여기서 \left|\dot{V}\right|, \left|\dot{I}\right|는 실효값)

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