정현파 교류의 복소수 표현

전압·전류·임피던스 등의 벡터를 복소수 표시하여 대수적인 계산에 의해 회로를 계산하는 방법

1. 복소수(complex number)의 성질

1.1. 실수부와 허수부로 구성된 벡터량

$\displaystyle Z = a + jb$

1.2. 허수 단위(imaginary unit)

허수 단위는 $j$ 또는 $i$로 표시한다.

$\displaystyle j=\sqrt{-1}, j^2=-1$

1.3. 복소수의 크기

$Z=\sqrt{a^2+b^2}$(여기서, $a$ : 실수부, $b$ : 허수부

1.4. 공액(conjugate) 복소수

크기는 같고 허수부의 부호만 다른 2개의 복소수

$\displaystyle Z=a+jb$

$\displaystyle \dot{Z}=a-jb$

1.5. 복소수 연산

• 곱셈

  ${\displaystyle \eqalign{ \left(a+jb\right)\left(c+jd\right) &= ac+jad+jbc+j^2bd \\ &= \left(ac-bd\right)+j\left(ad+bc\right) } }$



• 나눗셈(공액복소수 이용)

  ${\displaystyle \frac{a+jb}{c+jd} = \frac{\left(a+jb\right)\left(c-jd\right)}{\left(c+jd\right)\left(c-jd\right)} = \frac{\left(ac+bd\right)+j\left(bc-ad\right)}{c^2+d^2} }$

2. 벡터의 복소수 표현

2.1. 직각좌표형

${\displaystyle \eqalign{ \dot{A} &= a{\pm}jb \\ &= \left|A\right|\left(\frac{a}{\left|A\right|}{\pm}j\frac{b}{\left|A\right|}\right) } }$

$\displaystyle \left|\dot{A}\right|=\sqrt{a^2+b^2}, \theta=\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$

2.2. 극좌표 형식

벡터 $\displaystyle \dot{A}=a{\pm}jb$에서

$\displaystyle \dot{A}=\left|\dot{A}\right|\angle\theta$

$\displaystyle \left|\dot{A}\right| =\sqrt{a^2+b^2}, \theta =\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$

3.3. 삼각함수 형식

벡터 $\displaystyle \dot{A}=a{\pm}jb$에서

$\dot{A}=\left|\dot{A}\right|\left(\cos\theta{\pm}j\sin\theta\right)$

$\displaystyle \left|\dot{A}\right| =\sqrt{a^2+b^2}, \theta =\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) $

3.4. 지수 함수형

벡터 $\displaystyle \dot{A}=a{\pm}jb$에서

$\dot{A}=\left|\dot{A}\right|e^{{\pm}j\theta}$(여기서, $e$는 자연대수의 밑)

$\displaystyle \left|\dot{A}\right| =\sqrt{a^2+b^2}, \theta =\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) $

3. 정현파 교류의 복소수 표현

순시 전압 $\displaystyle v=V_m\sin\left({\omega}t+\theta\right)[\text{V}]$

순시 전류 $\displaystyle i=I_m\sin\left({\omega}t-\theta\right)[\text{A}]$

3.1. 극좌표 변환

$\displaystyle \dot{V}=\left|\dot{V}\right|\angle\theta[\text{V}]$

$\displaystyle \dot{I}=\left|\dot{I}\right|\angle{-\theta}[\text{A}]$

(여기서, $\left|\dot{V}\right|, \left|\dot{I}\right|$는 실효값)

3.2. 삼각함수형 변환

$\displaystyle \dot{V}=\left|\dot{V}\right|\left(\cos\theta+j\sin\theta\right)[\text{V}]$

${\displaystyle \eqalign{ \dot{I} &= \left|\dot{I}\right|\left\{\cos{(-\theta)}+j\sin{(-\theta)}\right\} &= \left|\dot{I}\right|\left(\cos{\theta}-\sin\theta\right)[\text{A}] } }$

(여기서 $\left|\dot{V}\right|, \left|\dot{I}\right|$는 실효값)