3상 전력은 부하의 결선 방법에 관계 없이 다음과 같이 나타낼 수 있다.
1대의 단상 전력계로 3상 평형 부하의 전력을 측정할 수 있는 방법(Δ 결선에서는 사용 불가)
$\displaystyle P=3W[\text{W}]$
단상 전력계 2대를 접속하여 3상 전력을 측정하는 방법으로 불평형 부하 전력도 측정할 수 있다.
단상 전력계 3대를 접속하여 3상 전력을 측정하는 방법으로 평형, 불평형 부하 전력을 측정할 수 있다. 각 전력계의 지시값의 대수합이 3상 전력이 된다.
$\displaystyle P=W_1+W_2+W_3[\text{W}]$
$\displaystyle V_p= V_l$
${\displaystyle { \dot{I}_a+\dot{I}_b+\dot{I}_c=\frac{\dot{V}_a+\dot{V}_b+\dot{V}_c}{\dot{Z}}=0[\text{A}] (\because \dot{V}_a+\dot{V}_b+\dot{V}_c=0) } }$
${\displaystyle { \dot{I}_a=\frac{\dot{V}_a}{\dot{Z}}[\text{A}] \\ \dot{I}_b=\frac{\dot{V}_b}{\dot{Z}}[\text{A}] \\ \dot{I}_c=\frac{\dot{V}_c}{\dot{Z}}[\text{A}] } }$
$\displaystyle \dot{Z}_{ab}=\frac{\dot Z_a\dot Z_b + \dot Z_b\dot Z_c + \dot Z_c\dot Z_a}{\dot Z_c}[\Omega]$
$\displaystyle \dot{Z}_{bc}=\frac{\dot Z_a\dot Z_b + \dot Z_b\dot Z_c + \dot Z_c\dot Z_a}{\dot Z_a}[\Omega]$
$\displaystyle \dot{Z}_{ca}=\frac{\dot Z_a\dot Z_b + \dot Z_b\dot Z_c + \dot Z_c\dot Z_a}{\dot Z_b}[\Omega]$
$\displaystyle \dot{Z}_a=\frac{\dot Z_{ab}\dot Z{ca}}{\dot Z_{ab}+\dot Z_{bc}+\dot Z_{ca}}[\Omega]$
$\displaystyle \dot{Z}_b=\frac{\dot Z_{bc}\dot Z{ab}}{\dot Z_{ab}+\dot Z_{bc}+\dot Z_{ca}}[\Omega]$
$\displaystyle \dot{Z}_c=\frac{\dot Z_{ca}\dot Z{bc}}{\dot Z_{ab}+\dot Z_{bc}+\dot Z_{ca}}[\Omega]$
$I_p = I_l$
${\displaystyle { \dot{I}_a+\dot{I}_b+\dot{I}_c=\frac{\dot{V}_a+\dot{V}_b+\dot{V}_c}{\dot{Z}}=0[\text{A}] (\because \dot{V}_a+\dot{V}_b+\dot{V}_c=0) } }$
${\displaystyle { \dot{I}_a=\frac{\dot{V}_a}{\dot{Z}}[\text{A}] \\ \dot{I}_b=\frac{\dot{V}_b}{\dot{Z}}[\text{A}] \\ \dot{I}_c=\frac{\dot{V}_c}{\dot{Z}}[\text{A}] } }$
주파수는 같으나 위상이 다른 3개의 기전력이 같은 회로계 내에 동시에 존재하는 교류방식이다. 서로의 위상차는 $120^\circ$이고 3개의 전압($V_a$, $V_b$, $V_c$) 및 전류($I_a$, $I_b$, $I_c$)가 있다.
여기서, $V$는 실효 전압값이다.
${\displaystyle { \eqalign { \dot{V}&=\dot{V}_a+\dot{V}_b+\dot{V}_c \\ &=V+V\left(-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+V\left(-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &=0[\text{V}] } } }$
$\displaystyle \dot{V}=\dot{V}_a+\dot{V}_b+\dot{V}_c\neq0$
$\displaystyle \cos\theta=\frac{P}{P_a}$
$\displaystyle \cos\theta=\frac{R}{Z}$
전압과 전류의 위상차
${\displaystyle { \eqalign { \theta&=\cos^{-1}{\frac{P}{P_a}}=\cos^{-1}{\frac{R}{Z}} \\ &=\tan^{-1}{\frac{P_r}{P_a}}=\tan^{-1}{\frac{X}{R}} } } }$
피상전력 중에 무효전력의 비율
$\displaystyle \sin\theta=\frac{P_r}{P_a}=\frac{X}{Z}$
전류($I$)의 위상이 전압($V$)의 위상보다 $\theta$ 뒤진다.(지상회로)
$\displaystyle \theta=\tan^{\small{-1}}\!{\frac{X_{\tiny{L}}}{R}}
=\tan^{\small{-1}}\!{\frac{\omega L}{R}}
=\tan^{\small{-1}}\!{\frac{V_{\small{L}}}{V_{\small{R}}}}$
임피던스 $Z$
$\displaystyle Z=R+jX_{\small{L}}[\Omega]$
$\displaystyle |Z|=\sqrt{R^2+{X_{\tiny{L}}}\!{^{\tiny{2}}}}[\Omega]$
전체 전압 $V$
$\displaystyle V=V_R+jV_L=I\cdot R+I\cdot j\omega L=(R+j\omega L)\cdot I[\text{V}]$
(여기서, $V_R=I\cdot R, V_L=I\cdot X_L$)
$\displaystyle |V|=\sqrt{{V_{\tiny{R}}}^2+{V_{\tiny{L}}}^2}=\sqrt{R^2+{X_{\tiny{L}}}\!{^2}}\cdot I[\text{V}]$
전 전류 $I$
$\displaystyle I=\frac{V}{|Z|}=\frac{V}{\sqrt{R^2+{X\!{_{\tiny{L}}}}^2}}$
역률 $\cos\!\theta$
$\displaystyle \cos\!\theta=\frac{R}{Z}=\frac{R}{\sqrt{R^2+{X\!{_{\tiny{L}}}}^2}}=\frac{V_{\tiny{R}}}{V}$
전류($I$)의 위상이 전압($V$)의 위상보다 $\theta$ 앞선다.(진상회로)
${\displaystyle {\theta=\tan^{\small{-1}}\!{\frac{X_{\tiny{C}}}{R}} =\tan^{\small{-1}}\!{\frac{\frac{1}{\omega C}}{R}} =\tan^{\small{-1}}\!{\frac{1}{\omega CR}} =\tan^{\small{-1}}\!{\frac{V_{\tiny{C}}}{V_{\tiny{R}}}} } }$
임피던스 $Z$
$\displaystyle Z=R+\frac{1}{j\omega C}=R-j\frac{1}{\omega C}[\Omega]$
$\displaystyle |Z|=\sqrt{R^2+{X_{\tiny{C}}}^2}=\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\omega C}\right)^2}[\Omega]$
전체 전압 $V$
${\displaystyle {
V=V_{\tiny{R}}+V_{\tiny{C}}
=I\cdot R + I\cdot \frac{1}{j\omega C}
=\left(R-j\frac{1}{\omega C}\right)\cdot I[\text{V}]
}
}$
(여기서, $\displaystyle V_{\tiny{R}}=I\cdot R, V_{\tiny{C}}=I\cdot X_{\tiny{C}})$
${\displaystyle { |V|=\sqrt{{V_{\tiny{R}}}^2+{V_{\tiny{C}}}^2} =\sqrt{R^2+{X_{\tiny{C}}}^2}\cdot I[\text{V}] } }$
전 전류 $I$
${\displaystyle { I=\frac{V}{Z} =\frac{V}{\sqrt{R^2+{X_{\tiny{C}}}^2}} =\frac{V}{\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\omega C}\right)^2}}[\text{A}] } }$
역률 $\cos\!\theta$
${\displaystyle { \cos\!\theta=\frac{R}{|Z|} =\frac{R}{\sqrt{R^2+{X_{\tiny{C}}}^2}} =\frac{V_{\tiny{R}}}{V} } }$
임피던스 $Z$
${\displaystyle { Z=R+j(X_{\tiny{L}}-X_{\tiny{C}}) =R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)[\Omega] } }$
${\displaystyle { |Z|=\sqrt{R^2+(X_{\tiny{L}}-X_{\tiny{C}})^2} =\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}[\Omega] } }$
전체 전압 $V$
${\displaystyle { V=V_{\tiny{R}}+V_{\tiny{L}}+V_{\tiny{C}} =I\cdot R+I\cdot jX_{\tiny{L}}+I\cdot(-jX_{\tiny{C}}) =I\cdot\{R+j(X_{\tiny{L}}-X_{\tiny{C}})\}[\text{V}] } }$
${\displaystyle { |V|=\sqrt{R^2+(X_{\tiny{L}}-X_{\tiny{C}})^2}\cdot I =\sqrt{R^2+\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}\cdot I[\text{V}] } }$
역률 $\cos\!\theta$
${\displaystyle { \cos\!\theta=\frac{R}{|Z|} =\frac{R}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}} } }$
전압과 전류의 위상차 $\theta$
$X_{\tiny{L}}>X_{\tiny{C}}$이면, 유도성 회로
$X_{\tiny{C}}>X_{\tiny{L}}$이면, 용량성 회로
$X_{\tiny{L}}=X_{\tiny{C}}$이면 공진회로
직렬 회로의 공진($X_{\tiny{L}}=X_{\tiny{C}}$) 특성
$R+j(X_{\tiny{L}}-X_{\tiny{C}})$에서 $X_{\tiny{L}}-X_{\tiny{C}}=0$인 상태
$\therefore Z=R$(공진 시는 저항만의 회로)
전압과 전류는 동위상
역률 $\cos\!\theta=1$
공진 각속도 $\omega_0$, 공진 주파수 $f_0$
${\displaystyle{ X_L-X_C=\omega_0 L-\frac{1}{\omega_0 C}=0 \\ \therefore \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} } }$
${\displaystyle{ \omega L-\frac{1}{\omega C}=2\pi f_0L-\frac{1}{2\pi f_0C}=0 \\ \therefore f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}[\text{Hz}] } }$
직렬 공진 시 임피던스($Z$)는 최소, 전류($I$)는 최대
직렬 공진 시 선택도 $Q$
${\displaystyle{ Q=\frac{X_L}{R}=\frac{X_C}{R}=\frac{\omega_0 L}{R}=\frac{1}{\omega_0 CR} \\ Q^2=\frac{\omega_0 L}{R}\times \frac{1}{\omega_0 CR}=\frac{1}{R^2}\cdot\frac{L}{C} \\ \therefore Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} } }$
선택도 $Q$를 전압확대율 또는 첨예도라고 하는데 저항 $R$값이 작으면 선택도 $Q$가 커지게 되어 공진 곡선이 날카롭게 되고 공진 주파수에 대한 응답이 예민하게 된다.
$\displaystyle Z = a + jb$
허수 단위는 $j$ 또는 $i$로 표시한다.
$\displaystyle j=\sqrt{-1}, j^2=-1$
$Z=\sqrt{a^2+b^2}$(여기서, $a$ : 실수부, $b$ : 허수부
크기는 같고 허수부의 부호만 다른 2개의 복소수
$\displaystyle Z=a+jb$
$\displaystyle \dot{Z}=a-jb$
${\displaystyle \eqalign{ \left(a+jb\right)\left(c+jd\right) &= ac+jad+jbc+j^2bd \\ &= \left(ac-bd\right)+j\left(ad+bc\right) } }$
${\displaystyle \frac{a+jb}{c+jd} = \frac{\left(a+jb\right)\left(c-jd\right)}{\left(c+jd\right)\left(c-jd\right)} = \frac{\left(ac+bd\right)+j\left(bc-ad\right)}{c^2+d^2} }$
${\displaystyle \eqalign{ \dot{A} &= a{\pm}jb \\ &= \left|A\right|\left(\frac{a}{\left|A\right|}{\pm}j\frac{b}{\left|A\right|}\right) } }$
$\displaystyle \left|\dot{A}\right|=\sqrt{a^2+b^2}, \theta=\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$
벡터 $\displaystyle \dot{A}=a{\pm}jb$에서
$\displaystyle \dot{A}=\left|\dot{A}\right|\angle\theta$
$\displaystyle \left|\dot{A}\right| =\sqrt{a^2+b^2}, \theta =\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$
벡터 $\displaystyle \dot{A}=a{\pm}jb$에서
$\dot{A}=\left|\dot{A}\right|\left(\cos\theta{\pm}j\sin\theta\right)$
$\displaystyle \left|\dot{A}\right| =\sqrt{a^2+b^2}, \theta =\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) $
벡터 $\displaystyle \dot{A}=a{\pm}jb$에서
$\dot{A}=\left|\dot{A}\right|e^{{\pm}j\theta}$(여기서, $e$는 자연대수의 밑)
$\displaystyle \left|\dot{A}\right| =\sqrt{a^2+b^2}, \theta =\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) $
순시 전압 $\displaystyle v=V_m\sin\left({\omega}t+\theta\right)[\text{V}]$
순시 전류 $\displaystyle i=I_m\sin\left({\omega}t-\theta\right)[\text{A}]$
$\displaystyle \dot{V}=\left|\dot{V}\right|\angle\theta[\text{V}]$
$\displaystyle \dot{I}=\left|\dot{I}\right|\angle{-\theta}[\text{A}]$
(여기서, $\left|\dot{V}\right|, \left|\dot{I}\right|$는 실효값)
$\displaystyle \dot{V}=\left|\dot{V}\right|\left(\cos\theta+j\sin\theta\right)[\text{V}]$
${\displaystyle \eqalign{ \dot{I} &= \left|\dot{I}\right|\left\{\cos{(-\theta)}+j\sin{(-\theta)}\right\} &= \left|\dot{I}\right|\left(\cos{\theta}-\sin\theta\right)[\text{A}] } }$
(여기서 $\left|\dot{V}\right|, \left|\dot{I}\right|$는 실효값)
의 크기
의 크기
(𝜂 : 히스테리시스 상수, f : 주파수[Hz], Bm : 최대 자속밀도)
자체 인덕턴스 $L[\text{H}]$의 코일에 $t[\text{sec}]$ 동안 전류 $I$가 0에서
$I[\text{A}]$까지 증가될 때 코일에 저장되는 전자 에너지 $W[\text{J}]$은
$\displaystyle W_L=\frac{1}{2}LI^2[\text{J}]$
${\displaystyle \eqalign{ W &= \frac{1}{2}{\mu}H^2 \\ &= \frac{1}{2}BH \\ &= \frac{1}{2}\cdot\frac{B^2}{\mu}[\text{J}/\text{m}^3] } }$
${\displaystyle L=\frac{N\Phi}{I}=\frac{{\mu}AN^2}{l}[\text{H}]}$
${\displaystyle (\because \Phi=BA={\mu}HA={\mu}A{\cdot}\frac{NI}{l})}$
${\displaystyle (H=\frac{NI}{l}[\text{AT}/\text{m}])}$
인접하게 두 코일을 놓고 1차 코일의 전류가 변하면 2차 코일에 유도기전력이 발생하는 현상
2차 코일 자속의 변화가 ${\Delta}t$동안 ${\Delta}{\Phi}[\text{Wb}]$이면 권수 $N_2$차 코일에
발생하는 유도기전력 $V_2[\text{V}]$는 다음과 같다.
${\displaystyle{ V_2=-N_2\frac{{\Delta}{\Phi}}{{\Delta}t}=-M\frac{{\Delta}I_1}{{\Delta}t}[\text{V}] } }$
따라서 상호 인덕턴스 $M$은 아래와 같이 유도된다.
${\displaystyle{ N_2{\Delta}{\Phi}=M{\Delta}I_1 \\ \\ \therefore M=\frac{N_2{\Phi}}{I_1} } }$
${\displaystyle L=L_1 + L_2 + 2M[\text{H}]}$
${\displaystyle L=L_1+L_2-2M[\text{H}]}$
${\displaystyle k=\frac{M}{\sqrt{L_1L_2}} \\ \\ \therefore M=k\sqrt{L_1L_2} }$
