과도현상

1. RL 직렬회로의 과도현상

• RL 직렬회로의 전류 특성
  ${\displaystyle { i=\frac{V}{R}\left(1-\varepsilon^{-\frac{R}{L}t}\right) =\frac{V}{R}\left(1-\varepsilon^{-\frac{t}{T}}\right) } }$
• 시정수 T
  정상전류 63.2[%]에 도달할 때까지의 시간
  $\displaystyle T=\frac{L}{R}[\text{sec}]$

2. RC 직렬회로의 과도현상

• RC 직렬회로의 전류 특성
  ${ \displaystyle { i=\frac{V}{R}\varepsilon^{-\frac{1}{RC}t} =\frac{V}{R}\varepsilon^{-\frac{t}{T}}[\text{A}] } }$
• 시정수 $\displaystyle T=RC[\text{sec}]$

3상 교류전력

3상 전력은 부하의 결선 방법에 관계 없이 다음과 같이 나타낼 수 있다.

• 유효 전력
  $\displaystyle P=\sqrt{3}V_lI_l\cos\!\theta=3V_pI_p\cos\!\theta[\text{W}]$
• 무효 전력
  $\displaystyle P_r=\sqrt{3}V_lI_l\sin\!\theta=3VpIp\sin\!\theta[\text{VAR}]$
• 피상 전력
  $\displaystyle P_a=\sqrt{3}V_lI_l=3V_pI_p[\text{VA}]$
• 역률
  $\displaystyle \cos\!\theta=\frac{P}{P_a}=\frac{R}{Z}$

3상 교류전력의 측정

1전력계법

1대의 단상 전력계로 3상 평형 부하의 전력을 측정할 수 있는 방법(Δ 결선에서는 사용 불가)

$\displaystyle P=3W[\text{W}]$

2전력계법

단상 전력계 2대를 접속하여 3상 전력을 측정하는 방법으로 불평형 부하 전력도 측정할 수 있다.

• $\displaystyle P=W_1+W_2=3VI\cos\!\theta[\text{W}]$
• $\displaystyle \cos\!\theta=\frac{W_1+W_2}{2\sqrt{{W_1}^2+{W_2}^2-W_1W_2}}$

3전력계법

단상 전력계 3대를 접속하여 3상 전력을 측정하는 방법으로 평형, 불평형 부하 전력을 측정할 수 있다. 각 전력계의 지시값의 대수합이 3상 전력이 된다.

$\displaystyle P=W_1+W_2+W_3[\text{W}]$

대칭 3상 교류회로의 𝚫 결선(환형 결선)

1. 상전압 $V_p$과 선간전압 $V_l$

$\displaystyle V_p= V_l$

상전류 $I_p$($I_{ab}, I_{bc}, I_{ca}$)와 선간전류 $I_l$($I_a, I_b, I_c$)

• 선간전류 $I_l$은 상전류 $I_p$보다 $\sqrt{3}$배 크다.
  $\displaystyle I_l=\sqrt{3}I_p$
• 선간전류 $I_l$의 위상은 상전류 $I_p$보다 $\displaystyle \frac{\pi}{6}[\text{rad}](30^\circ)$ 뒤진다.
  $\displaystyle \dot{I}_l=\sqrt3I_p\angle-\frac{\pi}{6}[A]$

3. 대칭 3상 교류전압, 전류 특성

${\displaystyle { \dot{I}_a+\dot{I}_b+\dot{I}_c=\frac{\dot{V}_a+\dot{V}_b+\dot{V}_c}{\dot{Z}}=0[\text{A}] (\because \dot{V}_a+\dot{V}_b+\dot{V}_c=0) } }$

${\displaystyle { \dot{I}_a=\frac{\dot{V}_a}{\dot{Z}}[\text{A}] \\ \dot{I}_b=\frac{\dot{V}_b}{\dot{Z}}[\text{A}] \\ \dot{I}_c=\frac{\dot{V}_c}{\dot{Z}}[\text{A}] } }$

3상 교류회로의 Y-𝚫 변환

1. $Y$ → $\Delta$ 변환

• $\Delta$ 변환 임피던스
  

  $\displaystyle \dot{Z}_{ab}=\frac{\dot Z_a\dot Z_b + \dot Z_b\dot Z_c + \dot Z_c\dot Z_a}{\dot Z_c}[\Omega]$

  $\displaystyle \dot{Z}_{bc}=\frac{\dot Z_a\dot Z_b + \dot Z_b\dot Z_c + \dot Z_c\dot Z_a}{\dot Z_a}[\Omega]$

  $\displaystyle \dot{Z}_{ca}=\frac{\dot Z_a\dot Z_b + \dot Z_b\dot Z_c + \dot Z_c\dot Z_a}{\dot Z_b}[\Omega]$

• 각 상의 임피던스 동일($\displaystyle Z_a=Z_b=Z_c$)할 때
  
  $\displaystyle Z_\Delta=3Z$
  
  

2. $\Delta$ → $Y$ 변환

• Y 변환 임피던스
  

  $\displaystyle \dot{Z}_a=\frac{\dot Z_{ab}\dot Z{ca}}{\dot Z_{ab}+\dot Z_{bc}+\dot Z_{ca}}[\Omega]$

  $\displaystyle \dot{Z}_b=\frac{\dot Z_{bc}\dot Z{ab}}{\dot Z_{ab}+\dot Z_{bc}+\dot Z_{ca}}[\Omega]$

  $\displaystyle \dot{Z}_c=\frac{\dot Z_{ca}\dot Z{bc}}{\dot Z_{ab}+\dot Z_{bc}+\dot Z_{ca}}[\Omega]$

• 각 상의 임피던스가 동일($Z_{ab}=Z_{bc}=Z_{ca}$)할 때
  
  $\displaystyle Z_Y=\frac{1}{3}Z_\Delta$

대칭 3상 교류회로의 Y 결선(성형 결선)

1. 상전압 $V_p$과 선간전압 $V_l$

• 선간전압 $V_l$은 상전압 $V_p$보다 $\sqrt{3}$배 크다.
  $V_l=\sqrt{3}\times V_p[\text{V}]$
• 선간전압 $V_l$의 위상은 상전압 $V_p$보다 $\displaystyle \frac{\pi}{6}[\text{rad}](30^\circ)$ 앞선다.
  $\displaystyle V_l=\sqrt3V_p\angle\frac{\pi}{6}[\text{V}]$

2. 상전류 $I_p$와 선간전류 $I_l$

$I_p = I_l$

3. 대칭 3상 교류전압, 전류 특성

${\displaystyle { \dot{I}_a+\dot{I}_b+\dot{I}_c=\frac{\dot{V}_a+\dot{V}_b+\dot{V}_c}{\dot{Z}}=0[\text{A}] (\because \dot{V}_a+\dot{V}_b+\dot{V}_c=0) } }$

${\displaystyle { \dot{I}_a=\frac{\dot{V}_a}{\dot{Z}}[\text{A}] \\ \dot{I}_b=\frac{\dot{V}_b}{\dot{Z}}[\text{A}] \\ \dot{I}_c=\frac{\dot{V}_c}{\dot{Z}}[\text{A}] } }$

mathjax test

test $$ax^2 + bx + c \href{javascript:alert("Einstein says so!")}{=}0$$ $$E \href{javascript:alert("Einstein says so!")}{=} mc^2$$

• $a = \frac{G M}{r^2}$

• $a = \frac{G M}{r^2}$

$\mho$


$ax^2 + bx + c =0$
가온나라 다 나와라  $ax^2 + bx + c =0$ 다시 다시 테스트

• test $ax^2 + bx + c =0$

대칭 3상 교류(three-phase alternating current)의 특성

주파수는 같으나 위상이 다른 3개의 기전력이 같은 회로계 내에 동시에 존재하는 교류방식이다. 서로의 위상차는 $120^\circ$이고 3개의 전압($V_a$, $V_b$, $V_c$) 및 전류($I_a$, $I_b$, $I_c$)가 있다.

1. 각 상의 전압 표현

1.1. 순시값 표현

• $\displaystyle V_a=\sqrt{2}V\sin\!{\omega t}[\text{V}]$
• $\displaystyle V_b=\sqrt{2}V\left(\sin\!{\omega t-\frac{2}{3}\pi}\right)[\text{V}]$
• $\displaystyle V_c=\sqrt{2}V\left(\sin\!{\omega t-\frac{4}{3}\pi}\right)[\text{V}]$

여기서, $V$는 실효 전압값이다.

1.2. 극좌표 표현

• $\displaystyle \dot{V}_a=V\angle0[\text{V}]$
• $\displaystyle \dot{V}_b=V\angle-\frac{2}{3}\pi[\text{V}]$
• $\displaystyle \dot{V}_c=V\angle-\frac{4}{3}\pi[\text{V}]$

1.3. 직각 좌표 표현

• $\displaystyle \dot{V}_a=V\angle0[\text{V}]$
• $\displaystyle \dot{V}_b=V\angle-\frac{2}{3}\pi=V\left(-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}\right)[\text{V}]$
• $\displaystyle \dot{V}_c=V\angle-\frac{4}{3}\pi=V\left(-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}\right)[\text{V}]$

2. 평형(대칭) 3상 교류

${\displaystyle { \eqalign { \dot{V}&=\dot{V}_a+\dot{V}_b+\dot{V}_c \\ &=V+V\left(-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+V\left(-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &=0[\text{V}] } } }$

3. 불평형(비대칭) 3상 교류

$\displaystyle \dot{V}=\dot{V}_a+\dot{V}_b+\dot{V}_c\neq0$

3상 교류회로

1. 3상 교류(three-phase alternating current)의 특성

2. 3상 교류회로의 결선

2.1. Y 결선(성형 결선)

2.2. Δ 결선

2.3. Y-Δ 결선의 변환

3. 3상 교류전력

4. 3상 교류전력의 측정

교류전력

1. 교류의 전력 표시

1.1. 유효 전력(Active Power) $P[\text{W}]$

• 부하(저항)에서 발생하는 전력이다. 평균전력 또는 소비전력이라고도 한다.
• 기호는 $P$, 단위는 $\text{W}$(와트)이다.
• $P=I^2R=VI\cos\theta=P_a\cos\theta$

1.2. 무효 전력(reactive power) $P_r[\text{Var}]$

• 리액턴스에서 발생하는 전력이다.
• 기호는 $P_r$ 또는 $Q$, 단위는 $[\text[Var]$로 표시한다.
• $P_r=I^2X=VI\sin\theta=P_a\sin\theta$

1.3. 피상 전력(apparent power) $P[\text{VA}]$

• 임피던스에서 발생하는 전력이다.
• 기호는 $P_a$ 또는 $S$, 단위는 $[\text{VA}]$로 표시한다.
• ${\displaystyle{ P_a=VI=I^2Z=\frac{V^2}{Z}=YV^2=\frac{P}{\cos\theta}=\frac{P_r}{\sin\theta}[\text{VA}] } }$
  
  $\displaystyle P_a=\sqrt{P^2+P^2_r}[\text{VA}]$

2. 역률(power factor) $\cos\theta$

2.1. 피상 전력 중에서 유효 전력으로 사용되는 비율

$\displaystyle \cos\theta=\frac{P}{P_a}$

$\displaystyle \cos\theta=\frac{R}{Z}$

2.2. 역률각 $\theta$

전압과 전류의 위상차

${\displaystyle { \eqalign { \theta&=\cos^{-1}{\frac{P}{P_a}}=\cos^{-1}{\frac{R}{Z}} \\ &=\tan^{-1}{\frac{P_r}{P_a}}=\tan^{-1}{\frac{X}{R}} } } }$

2.3. 무효율(reactive factor) $\sin\theta$

피상전력 중에 무효전력의 비율

$\displaystyle \sin\theta=\frac{P_r}{P_a}=\frac{X}{Z}$

3. R-X 직렬 회로의 전력 계산

• 유효 전력
  ${\displaystyle { \eqalign { P=VI\cos\theta&=I^2R \\ &=\left(\frac{V}{Z}\right)^2R \\ &=\left(\frac{V}{\sqrt{R^2+X^2}}\right)^2R \\ &=\frac{V^2R}{R^2+X^2} } } }$
• 무효 전력
  ${\displaystyle { \eqalign { P_r=VI\cos\theta&=I^2X \\ &=\left(\frac{V}{Z}\right)^2X \\ &=\left(\frac{V}{\sqrt{R^2+X^2}}\right)^2X \\ &=\frac{V^2X}{R^2+X^2} } } }$
• 피상 전력
  ${\displaystyle { \eqalign { P_a=VI\cos\theta&=I^2Z \\ &=\left(\frac{V}{Z}\right)^2Z \\ &=\left(\frac{V}{\sqrt{R^2+X^2}}\right)^2Z \\ &=\frac{V^2Z}{R^2+X^2} } } }$

3. R-X 병렬 회로의 전력 계산

• 유효 전력
  ${\displaystyle { \eqalign { P=VI\cos\theta&=\frac{V^2}{R} } } }$
• 무효 전력
  ${\displaystyle { \eqalign { P_r=VI\cos\theta&=\frac{V^2}{X} } } }$
• 피상 전력
  ${\displaystyle { \eqalign { P_a=VI\cos\theta&=\frac{V^2}{Z} } } }$

교류에서 수동소자(RLC) 병렬 회로

1. 어드미턴스 Y[℧]

2. RL 병렬회로

3. RC 병렬회로

4. RLC 병렬회로

교류에서 수동소자(RLC) 직렬 회로

1. RL 직렬회로(유도성 회로)

• 전류($I$)의 위상이 전압($V$)의 위상보다 $\theta$ 뒤진다.(지상회로)
  
  $\displaystyle \theta=\tan^{\small{-1}}\!{\frac{X_{\tiny{L}}}{R}} =\tan^{\small{-1}}\!{\frac{\omega L}{R}} =\tan^{\small{-1}}\!{\frac{V_{\small{L}}}{V_{\small{R}}}}$

• 임피던스 $Z$
  
  $\displaystyle Z=R+jX_{\small{L}}[\Omega]$
  
  $\displaystyle |Z|=\sqrt{R^2+{X_{\tiny{L}}}\!{^{\tiny{2}}}}[\Omega]$

• 전체 전압 $V$
  
  $\displaystyle V=V_R+jV_L=I\cdot R+I\cdot j\omega L=(R+j\omega L)\cdot I[\text{V}]$
  (여기서, $V_R=I\cdot R, V_L=I\cdot X_L$)
  
  $\displaystyle |V|=\sqrt{{V_{\tiny{R}}}^2+{V_{\tiny{L}}}^2}=\sqrt{R^2+{X_{\tiny{L}}}\!{^2}}\cdot I[\text{V}]$

• 전 전류 $I$
  
  $\displaystyle I=\frac{V}{|Z|}=\frac{V}{\sqrt{R^2+{X\!{_{\tiny{L}}}}^2}}$

• 역률 $\cos\!\theta$
  
  $\displaystyle \cos\!\theta=\frac{R}{Z}=\frac{R}{\sqrt{R^2+{X\!{_{\tiny{L}}}}^2}}=\frac{V_{\tiny{R}}}{V}$

2. RC 직렬회로(용량성 회로)

• 전류($I$)의 위상이 전압($V$)의 위상보다 $\theta$ 앞선다.(진상회로)

  ${\displaystyle {\theta=\tan^{\small{-1}}\!{\frac{X_{\tiny{C}}}{R}} =\tan^{\small{-1}}\!{\frac{\frac{1}{\omega C}}{R}} =\tan^{\small{-1}}\!{\frac{1}{\omega CR}} =\tan^{\small{-1}}\!{\frac{V_{\tiny{C}}}{V_{\tiny{R}}}} } }$

• 임피던스 $Z$
  

  $\displaystyle Z=R+\frac{1}{j\omega C}=R-j\frac{1}{\omega C}[\Omega]$
  

  $\displaystyle |Z|=\sqrt{R^2+{X_{\tiny{C}}}^2}=\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\omega C}\right)^2}[\Omega]$

• 전체 전압 $V$

  ${\displaystyle { V=V_{\tiny{R}}+V_{\tiny{C}} =I\cdot R + I\cdot \frac{1}{j\omega C} =\left(R-j\frac{1}{\omega C}\right)\cdot I[\text{V}] } }$
  (여기서, $\displaystyle V_{\tiny{R}}=I\cdot R, V_{\tiny{C}}=I\cdot X_{\tiny{C}})$

  ${\displaystyle { |V|=\sqrt{{V_{\tiny{R}}}^2+{V_{\tiny{C}}}^2} =\sqrt{R^2+{X_{\tiny{C}}}^2}\cdot I[\text{V}] } }$

• 전 전류 $I$

  ${\displaystyle { I=\frac{V}{Z} =\frac{V}{\sqrt{R^2+{X_{\tiny{C}}}^2}} =\frac{V}{\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\omega C}\right)^2}}[\text{A}] } }$

• 역률 $\cos\!\theta$

  ${\displaystyle { \cos\!\theta=\frac{R}{|Z|} =\frac{R}{\sqrt{R^2+{X_{\tiny{C}}}^2}} =\frac{V_{\tiny{R}}}{V} } }$

3. RLC 직렬회로

• 임피던스 $Z$

  ${\displaystyle { Z=R+j(X_{\tiny{L}}-X_{\tiny{C}}) =R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)[\Omega] } }$

  ${\displaystyle { |Z|=\sqrt{R^2+(X_{\tiny{L}}-X_{\tiny{C}})^2} =\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}[\Omega] } }$

• 전체 전압 $V$

  ${\displaystyle { V=V_{\tiny{R}}+V_{\tiny{L}}+V_{\tiny{C}} =I\cdot R+I\cdot jX_{\tiny{L}}+I\cdot(-jX_{\tiny{C}}) =I\cdot\{R+j(X_{\tiny{L}}-X_{\tiny{C}})\}[\text{V}] } }$

  ${\displaystyle { |V|=\sqrt{R^2+(X_{\tiny{L}}-X_{\tiny{C}})^2}\cdot I =\sqrt{R^2+\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}\cdot I[\text{V}] } }$

• 역률 $\cos\!\theta$

  ${\displaystyle { \cos\!\theta=\frac{R}{|Z|} =\frac{R}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}} } }$

• 전압과 전류의 위상차 $\theta$

  • $X_{\tiny{L}}>X_{\tiny{C}}$이면, 유도성 회로

  • $X_{\tiny{C}}>X_{\tiny{L}}$이면, 용량성 회로

  • $X_{\tiny{L}}=X_{\tiny{C}}$이면 공진회로

• 직렬 회로의 공진($X_{\tiny{L}}=X_{\tiny{C}}$) 특성

  • $R+j(X_{\tiny{L}}-X_{\tiny{C}})$에서 $X_{\tiny{L}}-X_{\tiny{C}}=0$인 상태

    $\therefore Z=R$(공진 시는 저항만의 회로)

  • 전압과 전류는 동위상

  • 역률 $\cos\!\theta=1$

• 공진 각속도 $\omega_0$, 공진 주파수 $f_0$

  ${\displaystyle{ X_L-X_C=\omega_0 L-\frac{1}{\omega_0 C}=0 \\ \therefore \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} } }$

  ${\displaystyle{ \omega L-\frac{1}{\omega C}=2\pi f_0L-\frac{1}{2\pi f_0C}=0 \\ \therefore f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}[\text{Hz}] } }$

• 직렬 공진 시 임피던스($Z$)는 최소, 전류($I$)는 최대

• 직렬 공진 시 선택도 $Q$

  ${\displaystyle{ Q=\frac{X_L}{R}=\frac{X_C}{R}=\frac{\omega_0 L}{R}=\frac{1}{\omega_0 CR} \\ Q^2=\frac{\omega_0 L}{R}\times \frac{1}{\omega_0 CR}=\frac{1}{R^2}\cdot\frac{L}{C} \\ \therefore Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} } }$

  선택도 $Q$를 전압확대율 또는 첨예도라고 하는데 저항 $R$값이 작으면 선택도 $Q$가 커지게 되어 공진 곡선이 날카롭게 되고 공진 주파수에 대한 응답이 예민하게 된다.

교류 회로 내 RLC 작용

1. 저항 R만의 회로

2. 인덕턴스 L만의 회로

3. 커패시턴스 C만의 회로

정현파 교류의 복소수 표현

전압·전류·임피던스 등의 벡터를 복소수 표시하여 대수적인 계산에 의해 회로를 계산하는 방법

1. 복소수(complex number)의 성질

1.1. 실수부와 허수부로 구성된 벡터량

$\displaystyle Z = a + jb$

1.2. 허수 단위(imaginary unit)

허수 단위는 $j$ 또는 $i$로 표시한다.

$\displaystyle j=\sqrt{-1}, j^2=-1$

1.3. 복소수의 크기

$Z=\sqrt{a^2+b^2}$(여기서, $a$ : 실수부, $b$ : 허수부

1.4. 공액(conjugate) 복소수

크기는 같고 허수부의 부호만 다른 2개의 복소수

$\displaystyle Z=a+jb$

$\displaystyle \dot{Z}=a-jb$

1.5. 복소수 연산

• 곱셈

  ${\displaystyle \eqalign{ \left(a+jb\right)\left(c+jd\right) &= ac+jad+jbc+j^2bd \\ &= \left(ac-bd\right)+j\left(ad+bc\right) } }$



• 나눗셈(공액복소수 이용)

  ${\displaystyle \frac{a+jb}{c+jd} = \frac{\left(a+jb\right)\left(c-jd\right)}{\left(c+jd\right)\left(c-jd\right)} = \frac{\left(ac+bd\right)+j\left(bc-ad\right)}{c^2+d^2} }$

2. 벡터의 복소수 표현

2.1. 직각좌표형

${\displaystyle \eqalign{ \dot{A} &= a{\pm}jb \\ &= \left|A\right|\left(\frac{a}{\left|A\right|}{\pm}j\frac{b}{\left|A\right|}\right) } }$

$\displaystyle \left|\dot{A}\right|=\sqrt{a^2+b^2}, \theta=\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$

2.2. 극좌표 형식

벡터 $\displaystyle \dot{A}=a{\pm}jb$에서

$\displaystyle \dot{A}=\left|\dot{A}\right|\angle\theta$

$\displaystyle \left|\dot{A}\right| =\sqrt{a^2+b^2}, \theta =\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$

3.3. 삼각함수 형식

벡터 $\displaystyle \dot{A}=a{\pm}jb$에서

$\dot{A}=\left|\dot{A}\right|\left(\cos\theta{\pm}j\sin\theta\right)$

$\displaystyle \left|\dot{A}\right| =\sqrt{a^2+b^2}, \theta =\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$

3.4. 지수 함수형

벡터 $\displaystyle \dot{A}=a{\pm}jb$에서

$\dot{A}=\left|\dot{A}\right|e^{{\pm}j\theta}$(여기서, $e$는 자연대수의 밑)

$\displaystyle \left|\dot{A}\right| =\sqrt{a^2+b^2}, \theta =\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$

3. 정현파 교류의 복소수 표현

순시 전압 $\displaystyle v=V_m\sin\left({\omega}t+\theta\right)[\text{V}]$

순시 전류 $\displaystyle i=I_m\sin\left({\omega}t-\theta\right)[\text{A}]$

3.1. 극좌표 변환

$\displaystyle \dot{V}=\left|\dot{V}\right|\angle\theta[\text{V}]$

$\displaystyle \dot{I}=\left|\dot{I}\right|\angle{-\theta}[\text{A}]$

(여기서, $\left|\dot{V}\right|, \left|\dot{I}\right|$는 실효값)

3.2. 삼각함수형 변환

$\displaystyle \dot{V}=\left|\dot{V}\right|\left(\cos\theta+j\sin\theta\right)[\text{V}]$

${\displaystyle \eqalign{ \dot{I} &= \left|\dot{I}\right|\left\{\cos{(-\theta)}+j\sin{(-\theta)}\right\} &= \left|\dot{I}\right|\left(\cos{\theta}-\sin\theta\right)[\text{A}] } }$

(여기서 $\left|\dot{V}\right|, \left|\dot{I}\right|$는 실효값)

정현파 교류의 표현

1. 순시값

시간에 따라 변하는 교류에 대하여 임의 순간에서의 값

v = V_msinωt[V]

i = I_msinωt[A]

2. 최대값

• 순시값 중에서 가장 큰 값
  
  

3. 평균값

• 순시값의 반주기에 대한 평균한 값
  
  

4. 실효값

5. 파형률, 파고율 및 왜형률

비정현파의 모양을 예측하기 위하여 파형률과 파고율을 사용한다. 파형이 뾰족해질수록 그 값이 1보다 커지게 된다.

5.1. 파고율

• 최대값(V_m)과 실효값(V)의 비
  
  

5.2. 파형률

• 실효값(V)과 평균값(V_a)과의 비
  
  

5.3. 왜형률

• 왜형파의 찌그러진 정도를 나타낸다.
• 왜형률
  
  

정현파 교류

전압, 전류의 크기 및 방향이 주기적으로 변하는 사인파의 형태를 가지므로 이러한 전압, 전류를 사인파 교류(AC)라 한다.

1. 정현파 교류의 발생

그림과 같은 플레밍의 온른손 법칙에 의해 평등자장 내에서 도체가 운동을 하는 경우 교류 발전기의 저기자(회전자) 코일에서 발생하는 유도기전력 e[V]는

e=2Blvsinθ = V_msinθ[V]

(여기서, B : 자속밀도[Wb/m²], v : 도체운동 속도[m/s], l : 도체길이[m], θ : 자기장과 도체의 운동 방향과의 각)

2. 주기(T)와 주파수(f)

• 주기 T[sec] : 주기적으로 반복되는 동일한 파형이 1회 반복되는 데 소요되는 시간
• 주파수 f[Hz] : 동일한 파형이 1초 동안 반복하는 회수. 주기(T)의 역수. 1[sec] 동안에 반복하는 사이클(cycle)의 수
• 주기와 주파수의 관계
  $T=\frac{1}{f}$ 또는 $f=\frac{1}{T}$

3. 각속도 ω[rad/s]

• 1[sec] 동안의 각[rad]의 변화율
• 각속도 ω와 주파수 f : 1[Hz] 동안에 회전한 각이 2π[rad]이기 때문에 주기 T[s]와 각속도 ω[rad/s] 사이의 관계는
  
  $T=\frac{2\pi}{\omega}[s]$, $f=\frac{1}{T}=\frac{1}{\frac{2\pi}{\omega}}=\frac{\omega}{2\pi}$ $\therefore \omega=2\pi f[rad/s]$

4. 위상과 위상차(phase difference)

4.1. 위상(phase)

주파수가 동일한 2개 이상의 교류 사이의 시간적인 차이를 위상(위상차)이라고 한다.

4.2. 앞선 위상(진상)의 표시

• t=0일 때 기준으로 보면 e₂ 그래프가 e₁ 그래프보다 위상이 90^०(π/2) 앞선 위상(진상)
• $e_1=V_m\sin{\omega t}[V]$, $e_2=V_m\sin{(\omega t + \frac{\pi}{2})}[V]$

4.3. 뒤진 위상(지상)의 표시

만약, e₂ 그래프가 e₁ 그래프 보다 위상이 90^०(π/2) 뒤진 위상(지상)이라면
$e_1=V_m\sin{\omega t}[V]$, $e_2=V_m\sin{(\omega t - \frac{\pi}{2})}[V]$

교류회로

1. 정현파 교류

2. 정현파 교류의 표현

3. 정현파 교류의 복소수 표현

4. 교류 회로 내 RLC 작용

5. RLC 직렬회로

6. RLC 병렬회로

히스테리시스 곡선과 손실

히스테리시스 곡선(hysteresis loop) : B-H 곡선

• 잔류 자기 B_r : 의 크기
  외부에서 가한 자계를 소거해도 자성체에 남는 자속밀도의 크기
• 보자력(coercive force) H_c : 의 크기
  잔류자기 B_r을 소거하기 위한 반대 방향의 자화력 H_c

히스테리시스 손실(hysteresis loss) P_h[W/m³]

• 자화시키는 방향을 역방향으로 바꿀 때마다 히스테리시스 곡선의 면적에 비례하는 손실이 발생한다. 즉, 히스테리시스 곡선을 일주할 때마다 곡선 면적에 해당하는 단위 체적당 에너지가 자성체의 온도를 상승시키는 열로 소비된다.
  
• 히스테리시스손 P_h[W/m³](스타인메츠의 실험식)
  
  (𝜂 : 히스테리시스 상수, f : 주파수[Hz], B_m : 최대 자속밀도)

히스테리시스 곡선의 비교

• a 그래프는 잔류 자기 B_r이 크고 보자력 H_c가 작기 때문에 자화되기도 쉽고 자성을 잃기도 쉬어서 전자석 재료로 사용된다.
• b 그래프는 잔류 자기 B_r이 크고 보자력 H_c가 크기 때문에 곡선의 면적이 넓어 쉽게 자성을 잃지 않아 영구자석 재료로 사용된다.

자기에너지

1. 인덕턴스에 축적되는 에너지

자체 인덕턴스 $L[\text{H}]$의 코일에 $t[\text{sec}]$ 동안 전류 $I$가 0에서 $I[\text{A}]$까지 증가될 때 코일에 저장되는 전자 에너지 $W[\text{J}]$은

$\displaystyle W_L=\frac{1}{2}LI^2[\text{J}]$

2. 단위 체적당 축적되는 에너지

${\displaystyle \eqalign{ W &= \frac{1}{2}{\mu}H^2 \\ &= \frac{1}{2}BH \\ &= \frac{1}{2}\cdot\frac{B^2}{\mu}[\text{J}/\text{m}^3] } }$

3. 자기 흡인력

• 단위 면적[m²] 당 흡인력 f[N/m²]
  
  $\displaystyle f=\frac{1}{2}\cdot\frac{B^2}{\mu_0}[\text{N}/\text{m}^2]$


• 작용면(S)에서 힘의 크기
  
  ${\displaystyle \eqalign{ F &= f{\cdot}S \\ &= \frac{1}{2}\cdot\frac{B^2}{\mu_0}{\cdot}S \\ &= \frac{1}{2}\cdot\frac{B^2S}{\mu_0}[\text{N}] } }$
  
  단, (S[m²] : 자극의 단면적)

인덕턴스 L[H]

1. 자체 인덕턴스

• 전류의 변화에 대한 자속의 변화의 비
  
  ${\displaystyle L=-\frac{d\Phi}{di}}$
  
  또는 인덕턴스 $L$은 코일에 발생되는 '유도기전력'과 '시간에 따른 전류의 변화율'과의 비이다.
  
  ${\displaystyle L=-\frac{e}{\frac{di}{dt}} }$
  
  ${\displaystyle \therefore e=-L\frac{di}{dt} }$


• 인덕턴스 $L$은 일반적으로 코일의 특성값을 나타내는 데 사용된다. 즉, 이 비례상수 L은 코일의 자체 유도능력 정도를 나타내는 값으로서 단위 [H](henry)로 표시한다.
  
  ${\displaystyle L=\frac{N\Phi}{I}[\text{H}] }$

2. 환상 코일의 자체 인덕턴스

${\displaystyle L=\frac{N\Phi}{I}=\frac{{\mu}AN^2}{l}[\text{H}]}$
${\displaystyle (\because \Phi=BA={\mu}HA={\mu}A{\cdot}\frac{NI}{l})}$
${\displaystyle (H=\frac{NI}{l}[\text{AT}/\text{m}])}$

3. 상호 인덕턴스(mutual inductance) M

3.1. 상호 유도

인접하게 두 코일을 놓고 1차 코일의 전류가 변하면 2차 코일에 유도기전력이 발생하는 현상

3.2. 상호 인덕턴스 M

2차 코일 자속의 변화가 ${\Delta}t$동안 ${\Delta}{\Phi}[\text{Wb}]$이면 권수 $N_2$차 코일에 발생하는 유도기전력 $V_2[\text{V}]$는 다음과 같다.

${\displaystyle{ V_2=-N_2\frac{{\Delta}{\Phi}}{{\Delta}t}=-M\frac{{\Delta}I_1}{{\Delta}t}[\text{V}] } }$

따라서 상호 인덕턴스 $M$은 아래와 같이 유도된다.

${\displaystyle{ N_2{\Delta}{\Phi}=M{\Delta}I_1 \\ \\ \therefore M=\frac{N_2{\Phi}}{I_1} } }$

4. 코일의 접속

4.1. 가동 접속

${\displaystyle L=L_1 + L_2 + 2M[\text{H}]}$

4.2. 차동 접속

${\displaystyle L=L_1+L_2-2M[\text{H}]}$

4.3. 결합 계수 $k$및 상호 인덕턴스

${\displaystyle k=\frac{M}{\sqrt{L_1L_2}} \\ \\ \therefore M=k\sqrt{L_1L_2} }$

(여기서, $M$ : 상호 인덕턴스, $L_1$, $L_2$ : 1, 2차 코일 인덕턴스)

플레밍의 오른손 법칙(도체 운동에 의한 유도기전력)

자기장 내의 도체가 자속을 쇄교하는(자속을 끊는) 방향으로 운동을 하면 도체에 유도기전력이 발생하고 그 유도기전력의 방향을 알 수 있는 법칙

• 유도기전력의 크기 : e = Blvsinθ[V]
  (여기서, B : 자속밀도[Wb/m²], V : 도체운동속도[m/s], l : 도체길이[m], θ : 자기장과 도체의 운동 방향과 각)
• 운동(v)의 방향 : 오른손 엄지손가락
• 자기장(B)의 방향 : 검지(집게)손가락
• 유도기전력(e)의 방향 : 중지(가운데)손가락

전자유도

1. 유도기전력(패러데이 전자유도작용)

• 도체가 자속과 쇄교하거나 자기장 중에 도체를 움직일 때, 도체에 기전력이 유도되는 현상을 전자유도라 한다.
• 전자유도작용에 의해 발생되는 유도기전력의 크기는 코일에 쇄교하는 자속의 변화율($\frac{d\phi}{dt}$)과 코일의 권수($N$)의 곱에 비례한다.
  
  ${\displaystyle e=N\frac{d\phi}{dt}[\text{V}]=L\frac{di}{dt}}$

2. 렌츠의 법칙(유도기전력의 방향)

• 전자유도에 의해 발생되는 유도기전력의 방향은 유도 전류가 만드는 자속이 항상 원래 자속을 방해하는 방향으로 발생
  
  ${\displaystyle e=-N\frac{d\phi}{dt}[\text{V}]=-L\frac{di}{dt}[\text{V}]}$


• 그림과 같이 스위치 S를 닫으면 인가전압에 의한 자속 φ _A에 의해서 유도기전력에 의한 자속 φ _B가 반대 방향으로 발생
  
• 도체 운동에 의한 유도기전력(플레밍의 오른손 법칙)

전자력(electromagnetic force)

자기장 내에 있는 도체에 전류를 흘리면 그 도체에 힘이 작용하는데 이 힘을 전자력이라 한다.

1. 전자력의 크기와 방향(플레밍의 왼손법칙)

1.1. 전자력의 크기

$\displaystyle F=BIl\sin\theta[\text{N}]$

$B$ : 자속 밀도[Wb/㎡]
$I$ : 도체에 흐르는 전류[A]
$l$ : 자장 중에 놓여 있는 도체의 길이
$\theta$ : 자장과 도체가 이루는 각

1.2. 전자력의 방향

• 엄지 손가락 : 작용하는 힘의 방향($F$)
• 검지(집게) 손가락 : 자기장의 방향($B$)
• 중지(가운데) 손가락 : 전류의 방향($I$)

2. 평행 도체에 작용하는 힘

평행한 도체에 전류를 흘리면 도체 사이에 힘이 작용하는데 두 전류의 방향이 같으면 흡인력, 방향이 다르면 반발력이 작용하게 된다.

두 전선 $W_1$, $W_2$ 사이의 거리는 $r$, 흐르는 전류가 각각 $I_1$, $I_2$라 할 때,

1. 전선 $W_1$에 흐르는 전류 $I_1$에 의해 전선 $W_2$의 위치에 형성되는 자기장의 세기
   
   ${\displaystyle H_1=\frac{I_1}{2{\pi}r}[\text{AT}/\text{m}]}$


2. 자속밀도
   
   ${\displaystyle \eqalign{ B &= \mu_0H_1 \\ &= 4{\pi}\times10^{-7}\times\frac{I_1}{2{\pi}r} \\ &= 2\times10^{-7}\times\frac{I_1}{r}[\text{Wb}/\text{m}^2] } }$


3. 전선 $W_2$에 작용하는 힘(길이는 $l$)
   
   ${\displaystyle F=BI_2l[\text{N}]}$


4. 전선 1[m]당 작용하는 힘
   
   ${\displaystyle \eqalign{ F &= 2\times10^{-7}\times\frac{I_1}{r}{\times}I_2\times1 \\ &= \frac{2I_1I_2}{r}\times10^{-7}[\text{N}] } }$

3. 코일에 작용하는 힘

1. 자기장과 코일이 평행할 때
   
   ${\displaystyle F=BIl[\text{N}]}$


2. 코일에 발생하는 회전력
   
   ${\displaystyle \tau = Fb=IBaN[\text{N}{\cdot}\text{m}}]$


3. 자기장과 구형코일이 $\theta$의 각을 이룰 때
   
   ${\displaystyle \tau=Fb\cos\theta=IBabN\cos\theta[\text{N}{\cdot}\text{m}]}$

전류에 의한 자계(자기장)의 세기

1. 원형 코일의 중심에서 자기장의 세기

(여기서, N : 권수, I : 전류,  r : 반경)

2. 무한장 직선 전류에 의한 자기장의 세기

3. 솔레노이드 내부 자기장의 세기

H=n₀⋅I[AT/m] (여기서, n₀ : 1[m]당 코일의 권수)

4. 환상 솔레노이드 중심 자기장의 세기

앙페르의 주회 적분의 법칙

• 전류의 분포가 균일한 전류에 의한 대칭성 자기장의 세기를 비오-사바르의 법칙보다 쉽게 구한다.
• 전류에 의해서 발생된 자계는 동심원 형태를 이루고 한 폐경로에 대한 자계 H를 선적분한 결과는 그 폐경로를 관통하는 전류 I와 같다.
  

비오-사바르의 법칙

• 전류에 의한 자기장에서 대치성 자기장의 세기를 구한다.
• I[A]의 전류가 흐르고 있는 도체의 미소 전류 부분 I⋅𝚫l에서 r[m] 떨어진 P점의 자기장의 세기 𝚫H[AT/m]는
  

앙페르의 오른나사의 법칙

1. 직선 도체에 전류가 흐를 때

• 직선 도체에 전류를 흘리면 도체 주변에 원형 자기장이 형성되고 그 자기장은 회전을 한다.(직선전류에 의한 자기장)
  

• 전류에 의해서 생기는 자기장의 방향은 전류 방향에 따라 결정된다. 즉, 전류의 방향이 오른나사가 진행하는 방향이라면 자기장의 방향은 오른나사의 회전 방향이 된다.
  
• 또는, 전류의 방향이 엄지손가락 방향이라면 자기장의 방향은 나머지 손가락이 감싸는 방향이 된다.
  

2. 원형 도체에 전류가 흐를 때

• 원형으로 된 도체에 전류를 흘리면 원형 도체 중심으로 자기장이 형성되어 도체 앞 뒤로 N, S극이 나타난다.(환상 전류에 의한 자기장의 방향)
  
• 원형 도체에 흐르는 전류의 방향으로 엄지손가락 외 나머지 손가락으로 감싸면 엄지손가락 방향이 N극이 된다.