전자기학: 실효값

교류 전기를 통해 얻은 일의 효과를 직류를 통해서 동일하게 얻을 수 있을 때 바로 그 값

전압의 실효값

${\displaystyle{ \eqalign{ W&=Pt=VIt=\frac{V^2}{R}t \\ &=\int^t_0\!{\frac{v^2}{R}}dt=\frac{1}{R}\int^t_0\!{v^2}dt \\ } } }$

$\displaystyle \frac{V^2}{R}t=\frac{1}{R}\int^t_0\!{v^2}dt$

$\displaystyle V^2=\frac{1}{t}\int^t_0\!{v^2dt}$

$\displaystyle \therefore V=\sqrt{\frac{1}{t}\int^t_0\!{v^2}dt}$
전류의 실효값

${\displaystyle{ \eqalign{ W&=Pt=VIt=I^2Rt \\ &=\int^t_0\!{i^2R}dt=R\int^t_0\!{i^2}dt \\ } } }$

$\displaystyle I^2Rt=R\int^t_0\!{i^2}dt$

$\displaystyle I^2=\frac{1}{t}\int^t_0\!{i^2dt}$

$\displaystyle \therefore I=\sqrt{\frac{1}{t}\int^t_0\!{i^2}dt}$

각 파형들의 실효값

정형파의 주기가 T일 경우

전압의 실효값

${\displaystyle{ \eqalign{ V &= \sqrt{\frac{1}{T}\int^T_0\!{v^2}dt} \\ &= \sqrt{\frac{1}{T}\int^T_0\!{(V_m\sin{\omega}t)^2}dt} \\ &= \sqrt{\frac{1}{\frac{T}{2}}\int^{\frac{T}{2}}_{0}\!{(V_m\sin{\omega}t)^2}dt} \\ &= \sqrt{\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{0}{(V_m\sin{\omega}t)^2}dt} \\ &= \sqrt{\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{0}{(V_m\sin\!\theta)^2}d\theta} \\ &= \sqrt{\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{0}{(V^2_m\sin^2\!\theta)}d\theta} \\ &= \sqrt{\frac{{V_m}^2}{\pi}\int^\pi_0{\sin^2\!\theta d\theta}} \\ &= \sqrt{\frac{{V_m}^2}{\pi}\left[\frac{1}{2}(\theta-\frac{\sin\!2\theta}{2}\right]^\pi_0} (\because \int{\sin^2\!{\theta} d\theta}&=\frac{\theta}{2}-\frac{\sin\!2\theta}{4})\\ &= \sqrt{\frac{{V_m}^2}{2\pi}\left[\theta-\frac{\sin\!2\theta}{2}\right]^\pi_0} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}V_m \\ &\fallingdotseq 0.707V_m } } }$
전류의 실효값

${\displaystyle \eqalign{ I &= \sqrt{\frac{1}{T}\int^T_0\!{i^2}dt} \\ &\vdots \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}I_m \\ &\fallingdotseq 0.707I_m } }$

수식의 전개과정을 중간 생략합니다. 전압의 실효값에서 수식을 전개하는 과정을 참고하시기 바랍니다.

전압의 실효값 : $\displaystyle \frac{V_m}{\sqrt{2}}[\text{V}]$

전류의 평균값 : $\displaystyle \frac{I_m}{\sqrt{2}}[\text{A}]$