최대 전력 조건

1. 직류 회로

$r$은 전원의 내부저항, $R_L$은 부하저항

부하 $R_L$에 전달되는 전력 $P_L$은 아래와 같습니다.

${\displaystyle { P_L=I^2R_L } }\tag{1}$

$r$과 $R_L$이 직렬이므로 두 저항에 흐르는 전류는 같고 그 크기는 아래와 같습니다.

${\displaystyle { I=\frac{V}{R_T}=\frac{V}{r+R_L} } }\tag{2}$

식 (2)을 식 (1)에 대입하여 다시 정리하면 아래와 같습니다.

${ \displaystyle { P_L=I^2R_L=\frac{V^2\cdot R_L}{\left(r+R_L\right)^2} } }\tag{3}$

$r$과 $V$는 값이 일정한 상수이므로, 식 (3)은 $R_L$이 변함에 따라 $P_L$이 변하는 함수식입니다. 이 함수식의 그래프 개형은 아래와 같습니다.

위 그래프에서의 극대점이 부하에 전달되는 최대 전력값이고, 식 (3)을 미분했을 때 0이되는 점입니다.

$P_L$을 $R_L$로 미분하기 위해 아래 미분 공식을 사용합니다.

${\displaystyle { \operatorname{D}_x\!{\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)} = \frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2} } }\tag{4}$

위 미분 공식에 따라 식 (3)을 미분하하면 아래와 같습니다.

${\displaystyle { \eqalign { \frac{\operatorname{d}\!P_L}{\operatorname{d}\!R_L} &=\frac{\left(r+R_L\right)^2V^2-V^2R_L2\left(r+R_L\right)}{\left(r+R_L\right)^4} \\ &=\frac{V^2\left(r+R_L\right)\left\{\left(r+R_L\right)-2R_L\right\}}{\left(r+R_L\right)^4} } } }\tag{5}$

부하 저항이 최대 전력값을 가지 위해서는 위 식이 0일 때이므로 아래의 결과가 얻어집니다.

$\displaystyle (r+R_L-2R_L)=0(\because r>0, R_L>0, V>0)$

$\therefore r=R_L$

최대 전력 전달 조건 : $r=R_L$

최대 전력 : ${\displaystyle { P_{max}=I^2R_L =\left(\frac{V}{R_T}\right)^2R_L =\left(\frac{V}{r+R_L}\right)^2R_L =\left(\frac{V}{2R_L}\right)^2R_L =\frac{V^2}{4R_L} } }$

2. 교류 회로

$\displaystyle Z_g=r+jx, Z_L=R_L+jX_L$일 때

최대 전력 전달 조건

$Z_L=\bar{Z_g}, R_L+jX_L=r-jx$

$\therefore R_L=r, jX_L=-jx$

최대 전력 : ${\displaystyle { P_{max}=I^2R_L =\left(\frac{V}{R_T}\right)^2R_L =\left(\frac{V}{r+R_L}\right)^2R_L =\left(\frac{V}{2R_L}\right)^2R_L =\frac{V^2}{4R_L} } }$