회로망에 공급되는 유효전력을 실수부로, 무효 전력을 허수부로 표현
$\displaystyle P_a=V\bar{I}=\bar{V}I=P\pm jQ$
| 구분 | 피상 전력 | $+jQ$ | $-jQ$ |
|---|---|---|---|
| 전류 공액 | $P_a=V\bar{I}=P\pm jQ$ | 유도성 무효전력 | 용량성 무효전력 |
| 전압 공액 | $P_a=\bar{V}I=P\pm jQ$ | 용량성 무효전력 | 유도성 무효전력 |
$\displaystyle \cos\theta=\frac{V_1^2-V_2^2-V^2_3}{2V_2V_3}$
$\displaystyle P=\frac{1}{2R}\left(V_1^2-V_2^2-V_3^2\right)$
$\displaystyle \cos\theta=\frac{I_1^2-I_2^2-I_3^2}{2I_2I_3}$
$\displaystyle P=\frac{R}{2}\left(I_1^2-I_2^2-I_3^2\right)$
$r$은 전원의 내부저항, $R_L$은 부하저항
부하 $R_L$에 전달되는 전력 $P_L$은 아래와 같습니다.
${\displaystyle { P_L=I^2R_L } }\tag{1}$
$r$과 $R_L$이 직렬이므로 두 저항에 흐르는 전류는 같고 그 크기는 아래와 같습니다.
${\displaystyle { I=\frac{V}{R_T}=\frac{V}{r+R_L} } }\tag{2}$
식 (2)을 식 (1)에 대입하여 다시 정리하면 아래와 같습니다.
${ \displaystyle { P_L=I^2R_L=\frac{V^2\cdot R_L}{\left(r+R_L\right)^2} } }\tag{3}$
$r$과 $V$는 값이 일정한 상수이므로, 식 (3)은 $R_L$이 변함에 따라 $P_L$이 변하는 함수식입니다. 이 함수식의 그래프 개형은 아래와 같습니다.
위 그래프에서의 극대점이 부하에 전달되는 최대 전력값이고, 식 (3)을 미분했을 때 0이되는 점입니다.
$P_L$을 $R_L$로 미분하기 위해 아래 미분 공식을 사용합니다.
${\displaystyle { \operatorname{D}_x\!{\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)} = \frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2} } }\tag{4}$
위 미분 공식에 따라 식 (3)을 미분하하면 아래와 같습니다.
${\displaystyle { \eqalign { \frac{\operatorname{d}\!P_L}{\operatorname{d}\!R_L} &=\frac{\left(r+R_L\right)^2V^2-V^2R_L2\left(r+R_L\right)}{\left(r+R_L\right)^4} \\ &=\frac{V^2\left(r+R_L\right)\left\{\left(r+R_L\right)-2R_L\right\}}{\left(r+R_L\right)^4} } } }\tag{5}$
부하 저항이 최대 전력값을 가지 위해서는 위 식이 0일 때이므로 아래의 결과가 얻어집니다.
$\displaystyle (r+R_L-2R_L)=0(\because r>0, R_L>0, V>0)$
$\therefore r=R_L$
최대 전력 전달 조건 : $r=R_L$
최대 전력 : ${\displaystyle { P_{max}=I^2R_L =\left(\frac{V}{R_T}\right)^2R_L =\left(\frac{V}{r+R_L}\right)^2R_L =\left(\frac{V}{2R_L}\right)^2R_L =\frac{V^2}{4R_L} } }$
$\displaystyle Z_g=r+jx, Z_L=R_L+jX_L$일 때
최대 전력 전달 조건
$Z_L=\bar{Z_g}, R_L+jX_L=r-jx$
$\therefore R_L=r, jX_L=-jx$
최대 전력 : ${\displaystyle { P_{max}=I^2R_L =\left(\frac{V}{R_T}\right)^2R_L =\left(\frac{V}{r+R_L}\right)^2R_L =\left(\frac{V}{2R_L}\right)^2R_L =\frac{V^2}{4R_L} } }$
${\displaystyle { \eqalign { \dot{I}&=\dot{I}_R+\dot{I}_L+\dot{I}_C \\ &=\frac{V}{R}+j\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)\cdot V \\ &=V\cdot \left\{\frac{1}{R} + j\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)\right\}[\text{A}] } } }$
$\displaystyle I=V\cdot Y=V\sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2+\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)^2}[\text{A}]$
${\displaystyle { Z=\frac{1}{Y} =\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2+\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)^2}}[\Omega] } }$
${\displaystyle { \eqalign { \cos{\theta}=\frac{G}{Y}&=\frac{\frac{1}{R}}{\sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2+\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)^2}} &=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\omega RC - \frac{R}{\omega L}\right)^2}} } } }$
${\displaystyle { \theta=\tan^{-1}(\frac{I_X}{I_R}) =\tan^{-1}\frac{(\omega C - \frac{1}{\omega L})V}{\frac{V}{R}} } }$
$\therefore \theta=\tan^{-1}(\omega C - \frac{1}{\omega L})R$
$\omega_0$ : 공진 각속도, $f_0$ : 공진 주파수
$\displaystyle X_L=X_C, {\omega_0}L=\frac{1}{{\omega_0}C}$
$\displaystyle Y=G=\frac{1}{R}$(최소)
임피딘스는 최대
$\displaystyle I=\frac{V}{R}$
$\cos\theta=1$
${ \displaystyle { {\omega}_0L=\frac{1}{{\omega_0}C} \longrightarrow \omega^2_0=\frac{1}{LC} \longrightarrow 2{\pi}f_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} \\ \therefore f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}[\text{Hz}] } }$
전원 전류 $I$에 대한 $L$ 및 $C$에 흐르는 전류 $I_L, I_C$ 전류의 비율
${\displaystyle { \eqalign { Q&=\frac{I_L}{I}=\frac{I_C}{I}=\frac{I_L}{I_R}=\frac{I_C}{I_R}(\because I=I_R) \\ &=\frac{\frac{V}{X_L}}{\frac{V}{R}}=\frac{\frac{V}{X_C}}{\frac{V}{R}} } } }$
${\displaystyle { \eqalign { Q^2&=\frac{\frac{V}{X_L}}{\frac{V}{R}}\times\frac{\frac{V}{X_C}}{\frac{V}{R}} =\frac{\frac{1}{X_L\cdot X_C}}{\frac{1}{R^2}} =R^2\times\frac{1}{X_L\cdot X_C} \\ &=R^2\cdot\frac{1}{\omega L}\cdot\omega C \\ &=R^2\cdot\frac{C}{L} } } }$
$\displaystyle \therefore Q=R\sqrt{\frac{C}{L}}$
$\omega_0$ : 공진 각속도, $f_0$ : 공진 주파수
$\displaystyle X_L=X_C, {\omega_0}L=\frac{1}{{\omega_0}C}$
$Z=R$(최소)
$\displaystyle I=\frac{V}{Z}$(최대)
$\cos\theta=1$
${ \displaystyle { {\omega}_0L=\frac{1}{{\omega_0}C} \longrightarrow \omega^2_0=\frac{1}{LC} \longrightarrow 2{\pi}f_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} \\ \therefore f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}[\text{Hz}] } }$
전원 전압 $V$에 대한 $L$ 및 $C$ 양단의 단자전압 $V_L, V_C$ 전압의 비율
${\displaystyle \eqalign { Q&=\frac{V_L}{V}=\frac{V_C}{V}=\frac{V_L}{V_R}=\frac{V_C}{V_R}(\because V=V_R) \\ &=\frac{I{\cdot}X_L}{I{\cdot}R}=\frac{I{\cdot}X_C}{I{\cdot}R} \\ } }$
${\displaystyle { \eqalign { Q^2&=\frac{I{\cdot}X_L}{I{\cdot}R}\times\frac{I{\cdot}X_C}{I{\cdot}R}=\frac{X_L}{R}\times\frac{X_C}{R} \\ &=\frac{1}{R^2}\cdot{\omega}L\cdot\frac{1}{{\omega}C} \\ &=\frac{1}{R^2}\frac{L}{C} } } }$
$\displaystyle \therefore Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$
콘덴서 C가 연결된 회로에 교류전류$\left(\vec{i}=I_m\cdot\sin{\omega}t[\text{A}]\right)$를 인가했을 때
콘덴서 양단의 전압
${\displaystyle
\eqalign {
\vec{v}_c&=\frac{Q}{C} \\
&=\frac{1}{C}\int{i(t)dt} \\
&=\frac{1}{C}\int{I_m\sin{\omega}tdt} \\
&=\frac{1}{C}\cdot I_m\int{\sin\omega t dt} \\
&=\frac{1}{C}I_m\left(-\frac{\cos\omega t}{\omega}\right) \\
&=\frac{1}{\omega C}I_m\left(-\cos\omega t\right) \\
&=\frac{1}{{\omega}C}I_m\sin\left({\omega}t-90^\circ\right)[\text{V}]
}
}$
용량성 리액턴스($X_C$)
${\displaystyle
\eqalign {
\vec{X}_C&=\frac{\vec{v}}{\vec{i}} \\
&=\frac{\frac{1}{{\omega}C}I_m\sin\left({\omega}t-90^\circ\right)}{I_m\cdot\sin{\omega}t} \\
&=\frac{1}{{\omega}C}\angle-90^\circ \\
&=-j\frac{1}{{\omega}C}=-jX_C[\Omega] \\
}
}$
실효 전류 : $\displaystyle i=\frac{v}{X_C}=\frac{v}{\frac{1}{{\omega}C}}={\omega}CV[\text{A}]$
전류가 전압보다 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ 앞선다.
리액터(코일) L이 연결된 회로에 교류전류$\left(\vec{i}=I_m\cdot\sin{\omega}t[\text{A}]\right)$를 인가했을 때
리액터(코일) 양단의 전압
${\displaystyle
\eqalign {
\vec{v}_L&=L\frac{d\vec{i}}{dt} \\
&=L\frac{d}{dt}I_m\sin{\omega}t \\
&=LI_m\frac{d}{dt}\sin\omega t \\
&={\omega}LI_m\cos{\omega}t \\
&={\omega}LI_m\sin\left({\omega}t+90^\circ\right)[\text{V}]
}
}$
유도성 리액턴스($X_L$)
${\displaystyle
\eqalign {
\vec{X}_L&=\frac{\vec{v}}{\vec{i}} \\
&=\frac{{\omega}LI_m\sin\left({\omega}t+90^\circ\right)}{I_m\sin{\omega}t} \\
&={\omega}L\angle90^\circ \\
&=j{\omega}L(\because 1\angle90^\circ=j) \\
&=jX_L[\Omega]
}
}$
실효 전류 : $\displaystyle i=\frac{v}{{\omega}L}[\text{A}]$
전압이 전류보다 $90^\circ$ 앞선다.
전류($I$)의 위상이 전압($V$)의 위상보다 $θ$앞선다(진상회로).
${\displaystyle \eqalign { \theta &= \tan^{-1}\left(\frac{B}{G}\right) \\ &= \tan^{-1}\left(\frac{\frac{1}{X_C}}{\frac{1}{R}}\right) \\ &= \tan^{-1}\left(\frac{R}{X_C}\right) \\ &= \tan^{-1}\left({\omega RC}\right) } }$
${\displaystyle \eqalign { \dot{Y} = G+jB &= \frac{1}{R}+j\frac{1}{X_C} \\ &= \frac{1}{R}+j\frac{1}{\frac{1}{\omega C}} \\ &= \frac{1}{R}+j\omega C[\mho] } }$
${ \displaystyle \eqalign{ \left|\dot{Y}\right| &= \sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2+\left(\frac{1}{X_C}\right)^2} &= \sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2+\left(\omega C\right)^2}[\mho] } }$
${\displaystyle \eqalign{ \dot{Z} = \frac{1}{\dot{Y}} = \frac{1}{G+jB} &= \frac{1}{\frac{1}{R}+j\frac{1}{X_C}} \\ &= \frac{1}{\frac{1}{R}+j{\omega}C} \\ &= \frac{R}{1+j{\omega}RC}[\Omega] } }$
${\displaystyle \eqalign{ \left|\dot{Z}\right|=\frac{1}{\left|\dot{Y}\right|} &= \frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{R})^2+(\frac{1}{X_C})^2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{R^2}+\frac{1}{X^2_C}}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{\frac{R^2+X^2_C}{R^2{\cdot}X^2_C}}} \\ &= \frac{R\cdot X_C}{\sqrt{R^2+X_C^2 }} \\ &= \frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{R})^2+(\omega C)^2}}[\Omega] } }$
${\displaystyle \eqalign{ \dot{I}=I_R+jI_C &=\frac{V}{R}+j\frac{V}{X_C} \\ &= V\left(\frac{1}{R}+j\frac{1}{\frac{1}{\omega C}}\right) \\ &= V\left(\frac{1}{R}+j\omega C\right)[A] } }$
$\left|\dot{I}\right|=V\cdot\left|\dot{Y}\right|=V\cdot\sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2+\left(\omega C\right)^2}$
${\displaystyle \eqalign{ \cos{\theta} = \frac{G}{\left|\dot{Y}\right|} &= \frac{\frac{1}{R}}{\sqrt{(\frac{1}{R})^2+(\frac{1}{X_C})^2}} \\ &= \frac{X_C}{\sqrt{R^2+X_C^2}} \\ &= \frac{\frac{1}{\omega C}}{\sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C})^2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}} } }$
전류($I$)의 위상이 전압($V$)의 위상보다 뒤진다(지상회로).
${\displaystyle \eqalign{ \theta &= \tan^{-1}\left({\frac{B}{G}}\right) \\ &= \tan^{-1}\left(\frac{\frac{1}{\omega L}}{\frac{1}{R}}\right) \\ &= \tan^{-1}\left({\frac{R}{\omega L}}\right) } }$
$\displaystyle \dot{Y}=G+jB=\frac{1}{R}+j\frac{1}{X_L}[\mho]$
${\displaystyle \eqalign{ \left|\dot{Y}\right| &= \sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2+\left(\frac{1}{\omega L}\right)^2} \\ &= \sqrt{\frac{R^2+\left(\omega L\right)^2}{R^2\left(\omega L\right)^2}} \\ &= \frac{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}}{\omega RL}[\mho] } }$
$\displaystyle \left|\dot{Z}\right| =\frac{1}{\left|\dot{Y}\right|} =\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2+\left(\frac{1}{\omega L}\right)^2}} =\frac{\omega RL}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}}$
${\displaystyle \eqalign{ \dot{I} = I_R+I_L &= \frac{V}{R}+\frac{V}{jX_L} \\ \\ &= \frac{V}{R}-j\frac{V}{X_L} = I_R-jI_L \\ \\ &= V\left(\frac{1}{R}-j\frac{1}{\omega L}\right) \\ \\ &= V\left(G-jB\right)[A]\left(I_R=\frac{V}{R}, I_L=\frac{V}{jX_L}\right) } }$
$\left|\dot{I}\right|=\sqrt{{I_R^2}+{I_L^2}}=\sqrt{\left(\frac{V}{R}\right)^2+\left(\frac{V}{X_L}\right)^2}$
${\displaystyle \eqalign{ \cos{\theta} &= \frac{G}{Y} &= \frac{\frac{1}{R}}{\sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2+\left(\frac{1}{X_L}\right)^2}} &= \frac{X_L}{\sqrt{R^2+X_L^2}} &= \frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{R}{\omega L}\right)^2}} } }$
저항 R이 연결된 회로에 교류전류($\vec{i}=I_m\cdot\sin{\omega}t[\text{A}]$)를 인가했을 때
순시 전압 : $\displaystyle \vec{v}_R = R{\cdot}\vec{i} = R{\cdot}I_m\sin{\omega}t[\text{V}]$
저항 : $\displaystyle R=Z=\frac{\vec{v}_R}{\vec{i}} =\frac{R{\cdot}\vec{i}}{\vec{i}} =\frac{R\cdot{I_m}{\cdot}\sin\omega t}{I_m{\cdot}\sin{\omega}t} $
전압($\dot{V}=V\angle{0^\circ})$과 전류($\dot{I}=I\angle{0^{\circ}}$)의 위상이 같다.
역률 $\cos\theta = 1(\theta=0^\circ)$
교류 전기를 통해 얻은 일의 효과를 직류를 통해서 동일하게 얻을 수 있을 때 바로 그 값
전압의 실효값
${\displaystyle{ \eqalign{ W&=Pt=VIt=\frac{V^2}{R}t \\ &=\int^t_0\!{\frac{v^2}{R}}dt=\frac{1}{R}\int^t_0\!{v^2}dt \\ } } }$
$\displaystyle \frac{V^2}{R}t=\frac{1}{R}\int^t_0\!{v^2}dt$
$\displaystyle V^2=\frac{1}{t}\int^t_0\!{v^2dt}$
$\displaystyle \therefore V=\sqrt{\frac{1}{t}\int^t_0\!{v^2}dt}$
전류의 실효값
${\displaystyle{ \eqalign{ W&=Pt=VIt=I^2Rt \\ &=\int^t_0\!{i^2R}dt=R\int^t_0\!{i^2}dt \\ } } }$
$\displaystyle I^2Rt=R\int^t_0\!{i^2}dt$
$\displaystyle I^2=\frac{1}{t}\int^t_0\!{i^2dt}$
$\displaystyle \therefore I=\sqrt{\frac{1}{t}\int^t_0\!{i^2}dt}$
정형파의 주기가 T일 경우
전압의 실효값
${\displaystyle{ \eqalign{ V &= \sqrt{\frac{1}{T}\int^T_0\!{v^2}dt} \\ &= \sqrt{\frac{1}{T}\int^T_0\!{(V_m\sin{\omega}t)^2}dt} \\ &= \sqrt{\frac{1}{\frac{T}{2}}\int^{\frac{T}{2}}_{0}\!{(V_m\sin{\omega}t)^2}dt} \\ &= \sqrt{\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{0}{(V_m\sin{\omega}t)^2}dt} \\ &= \sqrt{\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{0}{(V_m\sin\!\theta)^2}d\theta} \\ &= \sqrt{\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{0}{(V^2_m\sin^2\!\theta)}d\theta} \\ &= \sqrt{\frac{{V_m}^2}{\pi}\int^\pi_0{\sin^2\!\theta d\theta}} \\ &= \sqrt{\frac{{V_m}^2}{\pi}\left[\frac{1}{2}(\theta-\frac{\sin\!2\theta}{2}\right]^\pi_0} (\because \int{\sin^2\!{\theta} d\theta}&=\frac{\theta}{2}-\frac{\sin\!2\theta}{4})\\ &= \sqrt{\frac{{V_m}^2}{2\pi}\left[\theta-\frac{\sin\!2\theta}{2}\right]^\pi_0} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}V_m \\ &\fallingdotseq 0.707V_m } } }$
전류의 실효값
${\displaystyle \eqalign{ I &= \sqrt{\frac{1}{T}\int^T_0\!{i^2}dt} \\ &\vdots \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}I_m \\ &\fallingdotseq 0.707I_m } }$
수식의 전개과정을 중간 생략합니다. 전압의 실효값에서 수식을 전개하는 과정을 참고하시기 바랍니다.
전압의 실효값 : $\displaystyle \frac{V_m}{\sqrt{2}}[\text{V}]$
전류의 평균값 : $\displaystyle \frac{I_m}{\sqrt{2}}[\text{A}]$
한 주기 동안의 산술적인 평균값
전류의 평균값 : $\displaystyle \frac{2}{\pi}I_m[\text{A}]$
전압의 평균값 : $\displaystyle \frac{2}{\pi}V_m[\text{V}]$
$\displaystyle e=uBl\sin{\theta}=uBl\sin{\omega}t[\text{V}]$($u$는 도체의 속력)
전류, 전압 파형에서 어떤 임의의 순간에서의 전류 또는 전압의 크기
