회로망에 공급되는 유효전력을 실수부로, 무효 전력을 허수부로 표현
$\displaystyle P_a=V\bar{I}=\bar{V}I=P\pm jQ$
| 구분 | 피상 전력 | $+jQ$ | $-jQ$ |
|---|---|---|---|
| 전류 공액 | $P_a=V\bar{I}=P\pm jQ$ | 유도성 무효전력 | 용량성 무효전력 |
| 전압 공액 | $P_a=\bar{V}I=P\pm jQ$ | 용량성 무효전력 | 유도성 무효전력 |
$\displaystyle \cos\theta=\frac{V_1^2-V_2^2-V^2_3}{2V_2V_3}$
$\displaystyle P=\frac{1}{2R}\left(V_1^2-V_2^2-V_3^2\right)$
$\displaystyle \cos\theta=\frac{I_1^2-I_2^2-I_3^2}{2I_2I_3}$
$\displaystyle P=\frac{R}{2}\left(I_1^2-I_2^2-I_3^2\right)$
$r$은 전원의 내부저항, $R_L$은 부하저항
부하 $R_L$에 전달되는 전력 $P_L$은 아래와 같습니다.
${\displaystyle { P_L=I^2R_L } }\tag{1}$
$r$과 $R_L$이 직렬이므로 두 저항에 흐르는 전류는 같고 그 크기는 아래와 같습니다.
${\displaystyle { I=\frac{V}{R_T}=\frac{V}{r+R_L} } }\tag{2}$
식 (2)을 식 (1)에 대입하여 다시 정리하면 아래와 같습니다.
${ \displaystyle { P_L=I^2R_L=\frac{V^2\cdot R_L}{\left(r+R_L\right)^2} } }\tag{3}$
$r$과 $V$는 값이 일정한 상수이므로, 식 (3)은 $R_L$이 변함에 따라 $P_L$이 변하는 함수식입니다. 이 함수식의 그래프 개형은 아래와 같습니다.
위 그래프에서의 극대점이 부하에 전달되는 최대 전력값이고, 식 (3)을 미분했을 때 0이되는 점입니다.
$P_L$을 $R_L$로 미분하기 위해 아래 미분 공식을 사용합니다.
${\displaystyle { \operatorname{D}_x\!{\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)} = \frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2} } }\tag{4}$
위 미분 공식에 따라 식 (3)을 미분하하면 아래와 같습니다.
${\displaystyle { \eqalign { \frac{\operatorname{d}\!P_L}{\operatorname{d}\!R_L} &=\frac{\left(r+R_L\right)^2V^2-V^2R_L2\left(r+R_L\right)}{\left(r+R_L\right)^4} \\ &=\frac{V^2\left(r+R_L\right)\left\{\left(r+R_L\right)-2R_L\right\}}{\left(r+R_L\right)^4} } } }\tag{5}$
부하 저항이 최대 전력값을 가지 위해서는 위 식이 0일 때이므로 아래의 결과가 얻어집니다.
$\displaystyle (r+R_L-2R_L)=0(\because r>0, R_L>0, V>0)$
$\therefore r=R_L$
최대 전력 전달 조건 : $r=R_L$
최대 전력 : ${\displaystyle { P_{max}=I^2R_L =\left(\frac{V}{R_T}\right)^2R_L =\left(\frac{V}{r+R_L}\right)^2R_L =\left(\frac{V}{2R_L}\right)^2R_L =\frac{V^2}{4R_L} } }$
$\displaystyle Z_g=r+jx, Z_L=R_L+jX_L$일 때
최대 전력 전달 조건
$Z_L=\bar{Z_g}, R_L+jX_L=r-jx$
$\therefore R_L=r, jX_L=-jx$
최대 전력 : ${\displaystyle { P_{max}=I^2R_L =\left(\frac{V}{R_T}\right)^2R_L =\left(\frac{V}{r+R_L}\right)^2R_L =\left(\frac{V}{2R_L}\right)^2R_L =\frac{V^2}{4R_L} } }$
${\displaystyle { \eqalign { \dot{I}&=\dot{I}_R+\dot{I}_L+\dot{I}_C \\ &=\frac{V}{R}+j\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)\cdot V \\ &=V\cdot \left\{\frac{1}{R} + j\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)\right\}[\text{A}] } } }$
$\displaystyle I=V\cdot Y=V\sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2+\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)^2}[\text{A}]$
${\displaystyle { Z=\frac{1}{Y} =\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2+\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)^2}}[\Omega] } }$
${\displaystyle { \eqalign { \cos{\theta}=\frac{G}{Y}&=\frac{\frac{1}{R}}{\sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2+\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)^2}} &=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\omega RC - \frac{R}{\omega L}\right)^2}} } } }$
${\displaystyle { \theta=\tan^{-1}(\frac{I_X}{I_R}) =\tan^{-1}\frac{(\omega C - \frac{1}{\omega L})V}{\frac{V}{R}} } }$
$\therefore \theta=\tan^{-1}(\omega C - \frac{1}{\omega L})R$
$\omega_0$ : 공진 각속도, $f_0$ : 공진 주파수
$\displaystyle X_L=X_C, {\omega_0}L=\frac{1}{{\omega_0}C}$
$\displaystyle Y=G=\frac{1}{R}$(최소)
임피딘스는 최대
$\displaystyle I=\frac{V}{R}$
$\cos\theta=1$
${ \displaystyle { {\omega}_0L=\frac{1}{{\omega_0}C} \longrightarrow \omega^2_0=\frac{1}{LC} \longrightarrow 2{\pi}f_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} \\ \therefore f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}[\text{Hz}] } }$
전원 전류 $I$에 대한 $L$ 및 $C$에 흐르는 전류 $I_L, I_C$ 전류의 비율
${\displaystyle { \eqalign { Q&=\frac{I_L}{I}=\frac{I_C}{I}=\frac{I_L}{I_R}=\frac{I_C}{I_R}(\because I=I_R) \\ &=\frac{\frac{V}{X_L}}{\frac{V}{R}}=\frac{\frac{V}{X_C}}{\frac{V}{R}} } } }$
${\displaystyle { \eqalign { Q^2&=\frac{\frac{V}{X_L}}{\frac{V}{R}}\times\frac{\frac{V}{X_C}}{\frac{V}{R}} =\frac{\frac{1}{X_L\cdot X_C}}{\frac{1}{R^2}} =R^2\times\frac{1}{X_L\cdot X_C} \\ &=R^2\cdot\frac{1}{\omega L}\cdot\omega C \\ &=R^2\cdot\frac{C}{L} } } }$
$\displaystyle \therefore Q=R\sqrt{\frac{C}{L}}$
$\omega_0$ : 공진 각속도, $f_0$ : 공진 주파수
$\displaystyle X_L=X_C, {\omega_0}L=\frac{1}{{\omega_0}C}$
$Z=R$(최소)
$\displaystyle I=\frac{V}{Z}$(최대)
$\cos\theta=1$
${ \displaystyle { {\omega}_0L=\frac{1}{{\omega_0}C} \longrightarrow \omega^2_0=\frac{1}{LC} \longrightarrow 2{\pi}f_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} \\ \therefore f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}[\text{Hz}] } }$
전원 전압 $V$에 대한 $L$ 및 $C$ 양단의 단자전압 $V_L, V_C$ 전압의 비율
${\displaystyle \eqalign { Q&=\frac{V_L}{V}=\frac{V_C}{V}=\frac{V_L}{V_R}=\frac{V_C}{V_R}(\because V=V_R) \\ &=\frac{I{\cdot}X_L}{I{\cdot}R}=\frac{I{\cdot}X_C}{I{\cdot}R} \\ } }$
${\displaystyle { \eqalign { Q^2&=\frac{I{\cdot}X_L}{I{\cdot}R}\times\frac{I{\cdot}X_C}{I{\cdot}R}=\frac{X_L}{R}\times\frac{X_C}{R} \\ &=\frac{1}{R^2}\cdot{\omega}L\cdot\frac{1}{{\omega}C} \\ &=\frac{1}{R^2}\frac{L}{C} } } }$
$\displaystyle \therefore Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$
콘덴서 C가 연결된 회로에 교류전류$\left(\vec{i}=I_m\cdot\sin{\omega}t[\text{A}]\right)$를 인가했을 때
콘덴서 양단의 전압
${\displaystyle
\eqalign {
\vec{v}_c&=\frac{Q}{C} \\
&=\frac{1}{C}\int{i(t)dt} \\
&=\frac{1}{C}\int{I_m\sin{\omega}tdt} \\
&=\frac{1}{C}\cdot I_m\int{\sin\omega t dt} \\
&=\frac{1}{C}I_m\left(-\frac{\cos\omega t}{\omega}\right) \\
&=\frac{1}{\omega C}I_m\left(-\cos\omega t\right) \\
&=\frac{1}{{\omega}C}I_m\sin\left({\omega}t-90^\circ\right)[\text{V}]
}
}$
용량성 리액턴스($X_C$)
${\displaystyle
\eqalign {
\vec{X}_C&=\frac{\vec{v}}{\vec{i}} \\
&=\frac{\frac{1}{{\omega}C}I_m\sin\left({\omega}t-90^\circ\right)}{I_m\cdot\sin{\omega}t} \\
&=\frac{1}{{\omega}C}\angle-90^\circ \\
&=-j\frac{1}{{\omega}C}=-jX_C[\Omega] \\
}
}$
실효 전류 : $\displaystyle i=\frac{v}{X_C}=\frac{v}{\frac{1}{{\omega}C}}={\omega}CV[\text{A}]$
전류가 전압보다 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ 앞선다.
