복소전력과 전력의 측정

1. 복소전력

회로망에 공급되는 유효전력을 실수부로, 무효 전력을 허수부로 표현

$\displaystyle P_a=V\bar{I}=\bar{V}I=P\pm jQ$

구분	피상 전력	$+jQ$	$-jQ$
전류 공액	$P_a=V\bar{I}=P\pm jQ$	유도성 무효전력	용량성 무효전력
전압 공액	$P_a=\bar{V}I=P\pm jQ$	용량성 무효전력	유도성 무효전력

2. 전력의 측정

2.1. 3 전압계법

$\displaystyle \cos\theta=\frac{V_1^2-V_2^2-V^2_3}{2V_2V_3}$

$\displaystyle P=\frac{1}{2R}\left(V_1^2-V_2^2-V_3^2\right)$

2.2. 3 전류계법

$\displaystyle \cos\theta=\frac{I_1^2-I_2^2-I_3^2}{2I_2I_3}$

$\displaystyle P=\frac{R}{2}\left(I_1^2-I_2^2-I_3^2\right)$

최대 전력 조건

1. 직류 회로

$r$은 전원의 내부저항, $R_L$은 부하저항

부하 $R_L$에 전달되는 전력 $P_L$은 아래와 같습니다.

${\displaystyle { P_L=I^2R_L } }\tag{1}$

$r$과 $R_L$이 직렬이므로 두 저항에 흐르는 전류는 같고 그 크기는 아래와 같습니다.

${\displaystyle { I=\frac{V}{R_T}=\frac{V}{r+R_L} } }\tag{2}$

식 (2)을 식 (1)에 대입하여 다시 정리하면 아래와 같습니다.

${ \displaystyle { P_L=I^2R_L=\frac{V^2\cdot R_L}{\left(r+R_L\right)^2} } }\tag{3}$

$r$과 $V$는 값이 일정한 상수이므로, 식 (3)은 $R_L$이 변함에 따라 $P_L$이 변하는 함수식입니다. 이 함수식의 그래프 개형은 아래와 같습니다.

위 그래프에서의 극대점이 부하에 전달되는 최대 전력값이고, 식 (3)을 미분했을 때 0이되는 점입니다.

$P_L$을 $R_L$로 미분하기 위해 아래 미분 공식을 사용합니다.

${\displaystyle { \operatorname{D}_x\!{\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)} = \frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2} } }\tag{4}$

위 미분 공식에 따라 식 (3)을 미분하하면 아래와 같습니다.

${\displaystyle { \eqalign { \frac{\operatorname{d}\!P_L}{\operatorname{d}\!R_L} &=\frac{\left(r+R_L\right)^2V^2-V^2R_L2\left(r+R_L\right)}{\left(r+R_L\right)^4} \\ &=\frac{V^2\left(r+R_L\right)\left\{\left(r+R_L\right)-2R_L\right\}}{\left(r+R_L\right)^4} } } }\tag{5}$

부하 저항이 최대 전력값을 가지 위해서는 위 식이 0일 때이므로 아래의 결과가 얻어집니다.

$\displaystyle (r+R_L-2R_L)=0(\because r>0, R_L>0, V>0)$

$\therefore r=R_L$

최대 전력 전달 조건 : $r=R_L$

최대 전력 : ${\displaystyle { P_{max}=I^2R_L =\left(\frac{V}{R_T}\right)^2R_L =\left(\frac{V}{r+R_L}\right)^2R_L =\left(\frac{V}{2R_L}\right)^2R_L =\frac{V^2}{4R_L} } }$

2. 교류 회로

$\displaystyle Z_g=r+jx, Z_L=R_L+jX_L$일 때

최대 전력 전달 조건

$Z_L=\bar{Z_g}, R_L+jX_L=r-jx$

$\therefore R_L=r, jX_L=-jx$

최대 전력 : ${\displaystyle { P_{max}=I^2R_L =\left(\frac{V}{R_T}\right)^2R_L =\left(\frac{V}{r+R_L}\right)^2R_L =\left(\frac{V}{2R_L}\right)^2R_L =\frac{V^2}{4R_L} } }$

RLC 병렬회로

1. 어드미턴스 $Y$

2. 전전류 $I[\text{A}]$

${\displaystyle { \eqalign { \dot{I}&=\dot{I}_R+\dot{I}_L+\dot{I}_C \\ &=\frac{V}{R}+j\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)\cdot V \\ &=V\cdot \left\{\frac{1}{R} + j\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)\right\}[\text{A}] } } }$

$\displaystyle I=V\cdot Y=V\sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2+\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)^2}[\text{A}]$

3. $RLC$ 병렬 합성 임피던스 $Z$

${\displaystyle { Z=\frac{1}{Y} =\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2+\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)^2}}[\Omega] } }$

4. 역률 $\cos\theta$

${\displaystyle { \eqalign { \cos{\theta}=\frac{G}{Y}&=\frac{\frac{1}{R}}{\sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2+\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)^2}} &=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\omega RC - \frac{R}{\omega L}\right)^2}} } } }$

5. 전압과 전류의 위상차 $\theta$

${\displaystyle { \theta=\tan^{-1}(\frac{I_X}{I_R}) =\tan^{-1}\frac{(\omega C - \frac{1}{\omega L})V}{\frac{V}{R}} } }$

$\therefore \theta=\tan^{-1}(\omega C - \frac{1}{\omega L})R$

• $X_L>X_C$이면, 유도성 회로
• $X_L < X_C$이면, 용량성 회로
• $X_L=X_C$이면, 공진 회로

6. 병렬회로의 공진(X_L = X_C) 특성

병렬 공진 회로

$\omega_0$ : 공진 각속도, $f_0$ : 공진 주파수

1. 공진 조건

$\displaystyle X_L=X_C, {\omega_0}L=\frac{1}{{\omega_0}C}$

2. 어드미턴스

$\displaystyle Y=G=\frac{1}{R}$(최소)

임피딘스는 최대

3. 전류(최소)

$\displaystyle I=\frac{V}{R}$

4. 역률

$\cos\theta=1$

5. 공진 주파수

${ \displaystyle { {\omega}_0L=\frac{1}{{\omega_0}C} \longrightarrow \omega^2_0=\frac{1}{LC} \longrightarrow 2{\pi}f_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} \\ \therefore f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}[\text{Hz}] } }$

6. 전류 확대율, 양호도(Q)

전원 전류 $I$에 대한 $L$ 및 $C$에 흐르는 전류 $I_L, I_C$ 전류의 비율

${\displaystyle { \eqalign { Q&=\frac{I_L}{I}=\frac{I_C}{I}=\frac{I_L}{I_R}=\frac{I_C}{I_R}(\because I=I_R) \\ &=\frac{\frac{V}{X_L}}{\frac{V}{R}}=\frac{\frac{V}{X_C}}{\frac{V}{R}} } } }$

${\displaystyle { \eqalign { Q^2&=\frac{\frac{V}{X_L}}{\frac{V}{R}}\times\frac{\frac{V}{X_C}}{\frac{V}{R}} =\frac{\frac{1}{X_L\cdot X_C}}{\frac{1}{R^2}} =R^2\times\frac{1}{X_L\cdot X_C} \\ &=R^2\cdot\frac{1}{\omega L}\cdot\omega C \\ &=R^2\cdot\frac{C}{L} } } }$

$\displaystyle \therefore Q=R\sqrt{\frac{C}{L}}$

직렬 공진 회로

$\omega_0$ : 공진 각속도, $f_0$ : 공진 주파수

1. 공진 조건

$\displaystyle X_L=X_C, {\omega_0}L=\frac{1}{{\omega_0}C}$

2. 임피던스

$Z=R$(최소)

3. 전류

$\displaystyle I=\frac{V}{Z}$(최대)

4. 역률

$\cos\theta=1$

5. 공진 주파수

${ \displaystyle { {\omega}_0L=\frac{1}{{\omega_0}C} \longrightarrow \omega^2_0=\frac{1}{LC} \longrightarrow 2{\pi}f_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} \\ \therefore f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}[\text{Hz}] } }$

6. 전압 확대율, 양호도(Q)

전원 전압 $V$에 대한 $L$ 및 $C$ 양단의 단자전압 $V_L, V_C$ 전압의 비율

${\displaystyle \eqalign { Q&=\frac{V_L}{V}=\frac{V_C}{V}=\frac{V_L}{V_R}=\frac{V_C}{V_R}(\because V=V_R) \\ &=\frac{I{\cdot}X_L}{I{\cdot}R}=\frac{I{\cdot}X_C}{I{\cdot}R} \\ } }$

${\displaystyle { \eqalign { Q^2&=\frac{I{\cdot}X_L}{I{\cdot}R}\times\frac{I{\cdot}X_C}{I{\cdot}R}=\frac{X_L}{R}\times\frac{X_C}{R} \\ &=\frac{1}{R^2}\cdot{\omega}L\cdot\frac{1}{{\omega}C} \\ &=\frac{1}{R^2}\frac{L}{C} } } }$

$\displaystyle \therefore Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$

공진 회로

1. 직렬 공진

2. 병렬 공진

교류회로에서 C(콘덴서)의 작용

콘덴서 C가 연결된 회로에 교류전류$\left(\vec{i}=I_m\cdot\sin{\omega}t[\text{A}]\right)$를 인가했을 때

콘덴서 양단의 전압
${\displaystyle \eqalign { \vec{v}_c&=\frac{Q}{C} \\ &=\frac{1}{C}\int{i(t)dt} \\ &=\frac{1}{C}\int{I_m\sin{\omega}tdt} \\ &=\frac{1}{C}\cdot I_m\int{\sin\omega t dt} \\ &=\frac{1}{C}I_m\left(-\frac{\cos\omega t}{\omega}\right) \\ &=\frac{1}{\omega C}I_m\left(-\cos\omega t\right) \\ &=\frac{1}{{\omega}C}I_m\sin\left({\omega}t-90^\circ\right)[\text{V}] } }$

용량성 리액턴스($X_C$)
${\displaystyle \eqalign { \vec{X}_C&=\frac{\vec{v}}{\vec{i}} \\ &=\frac{\frac{1}{{\omega}C}I_m\sin\left({\omega}t-90^\circ\right)}{I_m\cdot\sin{\omega}t} \\ &=\frac{1}{{\omega}C}\angle-90^\circ \\ &=-j\frac{1}{{\omega}C}=-jX_C[\Omega] \\ } }$

실효 전류 : $\displaystyle i=\frac{v}{X_C}=\frac{v}{\frac{1}{{\omega}C}}={\omega}CV[\text{A}]$

전류가 전압보다 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ 앞선다.